Teorema del núcleo de Carathéodory

En matemáticas , el teorema del núcleo de Carathéodory es un resultado del análisis complejo y la teoría geométrica de funciones, establecido por el matemático griego Constantin Carathéodory en 1912. La convergencia uniforme en conjuntos compactos de una sucesión de funciones univalentes holomorfas , definidas en el disco unitario del plano complejo y fijando 0, puede formularse puramente geométricamente en términos del comportamiento límite de las imágenes de las funciones. El teorema del núcleo tiene amplia aplicación en la teoría de funciones univalentes y, en particular, proporciona la base geométrica para la ecuación diferencial de Loewner .

Sea U _n una sucesión de conjuntos abiertos en C que contiene 0. Sea V _n la componente conexa del interior de U _n ∩ U _{n + 1} ∩ ... que contiene 0. El núcleo de la sucesión se define como la unión de los V _n , siempre que no sea vacío; de lo contrario, se define como${\displaystyle \{0\}}$Por lo tanto, el núcleo es o bien un conjunto abierto conexo que contiene 0 o bien el conjunto de un punto.${\displaystyle \{0\}}$Se dice que una secuencia converge a un núcleo si cada subsecuencia tiene el mismo núcleo.

Ejemplos

• Si U _n es una secuencia creciente de conjuntos abiertos conectados que contienen 0, entonces el núcleo es simplemente la unión.
• Si U _n es una sucesión decreciente de conjuntos abiertos conexos que contienen 0, entonces, si 0 es un punto interior de U ₁ ∩ U ₂ ∩ ..., la sucesión converge al componente del interior que contiene 0. De lo contrario, si 0 no es un punto interior, la sucesión converge a${\displaystyle \{0\}}$.

Sea f _n ( z ) una sucesión de funciones holomorfas univalentes en el disco unitario D , normalizadas de modo que f _n (0) = 0 y f ' _n (0) > 0. Entonces f _n converge uniformemente en compactos en D a una función f si y solo si U _n = f _n ( D ) converge a su núcleo y este núcleo no es C . Si el núcleo es${\displaystyle \{0\}}$, entonces f = 0. De lo contrario, el núcleo es un conjunto abierto conexo U , f es univalente en D y f ( D ) = U .

Utilizando el teorema de Hurwitz y el teorema de Montel , es sencillo comprobar que si f _n tiende uniformemente en los compactos a f, entonces cada subsecuencia de U _n tiene núcleo U = f ( D ).

Por el contrario, si U _n converge a un núcleo distinto de C , entonces, por el teorema del cuarto de Koebe, U _n contiene el disco de radio f ' _n (0) / 4 con centro 0. La suposición de que U ≠ C implica que estos radios están uniformemente acotados. Por el teorema de distorsión de Koebe

${\displaystyle |f_{n}(z)|\leq f_{n}^{\prime }(0){|z| \sobre (1-|z|)^{2}}.}$

Por lo tanto, la sucesión f _n está uniformemente acotada en conjuntos compactos. Si dos subsucesiones convergen a límites holomorfos f y g , entonces f (0) = g (0) y con f ' (0), g' (0) ≥ 0. Por la primera parte y las hipótesis, se deduce que f ( D ) = g ( D ). La unicidad en el teorema de mapeo de Riemann obliga a f = g , por lo que la sucesión original f _n converge uniformemente en conjuntos compactos.

• Carathéodory, C. (1912), "Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veranderlichen Gebieten" , Math. Ana. , 72 : 107– 144, doi : 10.1007/bf01456892
• Duren, PL (1983), Funciones univalentes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol.  15, Vandenhoeck y Ruprecht