solución de Carathéodory-π

Una solución Carathéodory- π es una solución generalizada de una ecuación diferencial ordinaria . El concepto se debe a I. Michael Ross y recibe su nombre en honor a Constantin Carathéodory . ^{[ 1 ]} Su practicidad fue demostrada en 2008 por Ross et al. ^{[ 2 ]} en una implementación de laboratorio del concepto. El concepto es muy útil para implementar controles de retroalimentación , particularmente aquellos generados por una aplicación de la teoría de control óptimo pseudoespectral de Ross . ^{[ 3 ]}

Una solución de Carathéodory- π aborda el problema fundamental de definir una solución a una ecuación diferencial,

${\displaystyle {\dot {x}}=g(x,t)}$

cuando g ( x , t ) no es diferenciable con respecto a x . Tales problemas surgen de forma bastante natural ^{[ 4 ]} al definir el significado de una solución a una ecuación diferencial controlada, 

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}$

cuando el control, u , viene dado por una ley de retroalimentación,

${\displaystyle u=k(x,t)}$

donde la función k ( x , t ) puede no ser suave con respecto a x . Los controles de retroalimentación no suaves surgen con bastante frecuencia en el estudio de los controles de retroalimentación óptimos y han sido objeto de un estudio extenso desde la década de 1960. ^{[ 5 ]} 

Una ecuación diferencial ordinaria,

${\displaystyle {\dot {x}}=g(x,t)}$

es equivalente a una ecuación diferencial controlada,

${\displaystyle {\dot {x}}=u}$

con control de retroalimentación, ${\displaystyle u=g(x,t)}$. Luego, dado un problema de valor inicial , Ross divide el intervalo de tiempo${\displaystyle [0,\infty )}$a una cuadrícula,${\displaystyle \pi =\{t_{i}\}_{i\geq 0}}$ con${\displaystyle t_{i}\to \infty {\text{ cuando }}i\to \infty }$. De${\displaystyle t_{0}}$a${\displaystyle t_{1}}$, generar una trayectoria de control,

${\displaystyle u(t)=g(x_{0},t),\quad x(t_{0})=x_{0},\quad t_{0}\leq t\leq t_{1}}$

a la ecuación diferencial controlada,

${\displaystyle {\dot {x}}=u(t),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

Existe una solución de Carathéodory para la ecuación anterior porque${\displaystyle t\mapsto u}$tiene discontinuidades como máximo en t , la variable independiente. En${\displaystyle t=t_{1}}$, colocar${\displaystyle x_{1}=x(t_{1})}$y reiniciar el sistema con${\displaystyle u(t)=g(x_{1},t)}$,

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=u(t),\quad x(t_{1})=x_{1},\quad t_{1}\leq t\leq t_{2}}$

Siguiendo este procedimiento, los segmentos de Carathéodory se unen para formar una solución Carathéodory- π .

Una solución de Carathéodory- π puede aplicarse a la estabilización práctica de un sistema de control. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Se ha utilizado para estabilizar un péndulo invertido , ^{[ 6 ]} controlar y optimizar el movimiento de robots, ^{[ 7 ] [ 8 ]} girar y controlar la nave espacial NPSAT1 ^{[ 3 ]} y producir comandos de guiado para misiones espaciales de bajo empuje. ^{[ 2 ]}

• Lema π de Ross