Número cardinal

En matemáticas , un número cardinal , o cardinal para abreviar, es un tipo de número que mide la cardinalidad de un conjunto , es decir, cuántos elementos hay en un conjunto. El número cardinal asociado a un conjunto${\displaystyle A}$Generalmente se denota por${\displaystyle \vert A\vert }$⁠ , con una barra vertical a cada lado, ^{[ 1 ]} aunque también puede denotarse por ${\displaystyle A}$,${\displaystyle \operatorname {tarjeta} (A),}$o${\displaystyle \#A.}$^{[ 8 ]}

La cardinalidad se define en términos de funciones biyectivas . Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si y solo si existe una correspondencia biyectiva entre los elementos de ambos conjuntos. La cardinalidad de un conjunto finito se puede identificar con un número natural , que se puede hallar simplemente contando sus elementos. Por ejemplo, los conjuntos${\displaystyle \{1,2,3\}}$y​​${\displaystyle \{4,5,6\}}$⁠ ambos tienen la misma cardinalidad 3, como lo demuestra la biyección ⁠${\displaystyle \{1\mapsto 4,2\mapsto 5,3\mapsto 6\}}$.​

El comportamiento de las cardinalidades de conjuntos infinitos es más complejo. Por ejemplo, existe una biyección entre el conjunto de todos los números naturales .${\displaystyle \mathbb {N} }$y el conjunto de todos los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ , y por lo tanto ⁠${\displaystyle \vert \mathbb {N} \vert =\vert \mathbb {Q} \vert }$⁠ aunque ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$es un subconjunto propio de${\displaystyle \mathbb {Q} }$—algo que no puede ocurrir con subconjuntos propios de conjuntos finitos. Sin embargo, un teorema fundamental de Georg Cantor muestra que es posible que dos conjuntos infinitos tengan cardinalidades diferentes, y en particular la cardinalidad del conjunto de los números reales .${\displaystyle \mathbb {R} }$es mayor que la cardinalidad de${\displaystyle \mathbb {N} }$.​

La cardinalidad de ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠ se suele denotar por ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$( aleph-nulo ), puesto que es el número aleph más pequeño . Las propiedades de otros números aleph y delos números cardinales infinitos en general dependen de enunciados independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , como el axioma de elección y la hipótesis del continuo . Por ejemplo, todos los números cardinales infinitos son números aleph si y solo si el axioma de elección es verdadero.

La cardinalidad se estudia por sí misma como parte de la teoría de conjuntos . También es una herramienta utilizada en diversas ramas de las matemáticas, como la teoría de modelos , la combinatoria , el álgebra abstracta y el análisis matemático . En la teoría de categorías , los números cardinales forman el esqueleto de la categoría de conjuntos .

Un número natural puede utilizarse para dos propósitos: describir el tamaño de un conjunto o la posición de un elemento en una secuencia. Estas dos nociones divergen al generalizarse a conjuntos y secuencias infinitos : el aspecto posicional da lugar a los números ordinales , y el aspecto del tamaño, a los números cardinales.

Al considerar el tamaño de un conjunto, las identidades de los miembros individuales deben abstraerse ; cambiar estos miembros individuales no debería afectar el tamaño del conjunto, siempre que permanezcan distintos entre sí. ^{[ 9 ]} Por ejemplo, el conjunto ⁠${\displaystyle \{1,2,3\}}$⁠ tiene tres elementos, por lo que cuando uno reemplaza sus miembros siguiendo el mapeo ⁠${\displaystyle \{1\mapsto 4,2\mapsto 5,3\mapsto 6\}}$⁠ , el conjunto resultante ⁠${\displaystyle \{4,5,6\}}$⁠ todavía tiene tres elementos. Es razonable postular además que dos conjuntos ⁠${\displaystyle X}$y​​${\displaystyle Y}$⁠ tienen el mismo tamaño si y solo si existe tal mapeo —una biyección— desde ⁠${\displaystyle X}$a​​${\displaystyle Y}$Así es precisamente como se defineel concepto formal de cardinalidad .

La igualdad de cardinalidad es una relación de equivalencia . A veces se la denomina equipotencia , equipollenidad o equinumerosidad . Se dice, por lo tanto, que dos conjuntos con la misma cardinalidad son, respectivamente, equipotentes , equipollenos o equinumerosos . Toda clase de equivalencia de conjuntos bajo la propiedad de equinumerosidad corresponde a un número cardinal.

Para conjuntos finitos, los números cardinales definidos de esta manera coinciden con la noción intuitiva de número de elementos (como un número natural), pero los conjuntos infinitos exhiben comportamientos más complejos. Un ejemplo clásico es la paradoja del Gran Hotel de Hilbert , que utiliza la siguiente correspondencia:

1 ↦ 2

2 ↦ 3

3 ↦ 4

...

n ↦ n + 1

...

Esta es una biyección entre los conjuntos .${\displaystyle \{1,2,3,...\}}$y​​${\displaystyle \{2,3,4,...\}}$⁠ , y por lo tanto tienen la misma cardinalidad ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠ , a pesar de que el segundo es un subconjunto propio del primero. Por lo tanto, la intuición de que el tamaño de un subconjunto propio de ⁠${\displaystyle X}$⁠ siempre es estrictamente menor que el tamaño de ⁠${\displaystyle X}$⁠ suele ser ^{[ a ]} ​​válido solo para conjuntos finitos. Por el contrario, esto también demuestra que ⁠${\displaystyle \aleph _{0}+1=\aleph _{0}}$⁠ (la cardinalidad de ⁠${\displaystyle \{2,3,4,...\}}$más la cardinalidad de${\displaystyle \{1\}}$es igual a la cardinalidad de${\displaystyle \{1,2,3,...\}}$) , y por lo tanto la operación "más uno" no siempre construye un nuevo número cardinal como lo hace con los números naturales.

Sin embargo, el argumento diagonal de Cantor muestra que la operación de conjunto potencia siempre resulta en una cardinalidad estrictamente mayor, lo que permite construir un número cardinal mayor a partir de cualquier número cardinal infinito. Por ejemplo, se puede demostrar que la cardinalidad del conjunto de los números reales es igual a ⁠${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}}$⁠ , y por lo tanto, hay estrictamente más números reales que números naturales.

La función de cardinalidad es una función cardinal que toma como entrada un conjunto de datos.${\displaystyle A}$y devuelve su número cardinal :${\displaystyle A\mapsto \vert A\vert }$Sin embargo, es algo difícil definir formalmente un "número cardinal", especialmente para conjuntos infinitos. Por lo tanto, los números cardinales no suelen pensarse en términos de su definición formal, sino de manera irrelevante en términos de sus propiedades aritméticas/algebraicas. ^{[ 10 ]} El único requisito fundamental sobre una función de cardinalidad${\displaystyle A\mapsto |A|}$es: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle A\sim B\iff |A|=|B|.}$$ La suposición de que existe alguna función que satisface este requisito se denomina a veces axioma de cardinalidad ^{[ 12 ]} o principio de Hume ^{[ 13 ]} . Más adelante se demostrará que dicha función puede construirse sin necesidad de definirla axiomáticamente.

Un enfoque alternativo consiste en definir una relación de igualdad para los números cardinales .${\displaystyle =_{c}}$que puede ser diferente de la relación de igualdad para conjuntos, y utilice${\displaystyle =_{c}}$para desarrollar la teoría de la cardinalidad. Específicamente, Moschovakis define una asignación cardinal (débil) como una operación${\displaystyle A\mapsto \vert A\vert }$que satisface​${\displaystyle A\sim \vert A\vert }$⁠ (con la motivación de que la cardinalidad de ⁠${\displaystyle A}$Debe estar representado por un objeto "abstracto" .${\displaystyle \vert A\vert }$⁠ que es equinumeroso a ⁠${\displaystyle A}$) . ^{[ b ]} La relación${\displaystyle =_{c}}$⁠ es entonces lo mismo que la relación de equinumerosidad ⁠${\displaystyle \sim }$entre conjuntos. Si una asignación cardinal también satisface${\displaystyle A\sim B\iff \vert A\vert =\vert B\vert }$⁠ , entonces es una asignación cardinal fuerte . ^{[ 14 ]}

Formalmente, el orden entre los números cardinales se define de la siguiente manera: | X | ≤ | Y | significa que existe una función inyectiva de X a Y. El teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder establece que si | X | ≤ | Y | y | Y | ≤ | X |, entonces | X | = | Y |. El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que, dados dos conjuntos X e Y , se cumple que | X | ≤ | Y | o | Y | ≤ | X |. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

Un conjunto X se denomina Dedekind-infinito si existe un subconjunto propio Y de X tal que | X | = | Y |, y Dedekind-finito si no existe tal subconjunto. Los cardinales finitos son simplemente los números naturales , en el sentido de que, por definición, un conjunto X es finito si y solo si | X | = | n | = n para algún número natural n . Cualquier otro conjunto es infinito . Se puede demostrar (sin el axioma de elección) que cualquier conjunto Dedekind-infinito es infinito. Suponiendo el axioma de elección, se puede demostrar que las nociones de Dedekind corresponden a las estándar.

Los números alef son las cardinalidades de conjuntos infinitos bien ordenados . Se denotan con la letra hebrea${\displaystyle \aleph }$( aleph ) marcados con un subíndice que indica su rango entre los números aleph. Dado que los números aleph se pueden identificar con sus ordinales iniciales , forman una secuencia transfinita : $${\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |,\;\aleph _{1},\;\aleph _{2},\;\ldots ,\;\aleph _{\alpha },\;\ldots .}$$ Para cada ordinal ⁠${\displaystyle \alpha }$⁠ , existe un número aleph ⁠${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$⁠ . Si el axioma de elección es verdadero, entonces todos los conjuntos son bien ordenables (por el teorema del buen ordenamiento ) y, por lo tanto, todos los números cardinales infinitos son números aleph, es decir, esta secuencia transfinita es de hecho la lista de todos los números cardinales infinitos.

Si el axioma de elección no es verdadero (véase Axioma de elección §  Independencia ), entonces existen conjuntos que no son bien ordenables y, por lo tanto, cardinales infinitos que no son números aleph. Según el teorema de Hartogs , tal cardinal debe ser incomparable con algún número aleph , por lo que en este caso es imposible escribir todos los números cardinales en una secuencia totalmente ordenada .

Podemos definir operaciones aritméticas sobre números cardinales que generalizan las operaciones habituales para números naturales. Se puede demostrar que, para cardinales finitos, estas operaciones coinciden con las operaciones usuales para números naturales. Además, estas operaciones comparten muchas propiedades con la aritmética ordinaria.

La hipótesis del continuo (HC) afirma que no existen cardinales estrictamente entre${\displaystyle \aleph _{0}}$y${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}.}$Este último número cardinal también se suele denotar por${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$; es la cardinalidad del continuo (el conjunto de los números reales ). En este caso${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$

De manera similar, la hipótesis del continuo generalizado (HCG) establece que para cada cardinal infinito${\displaystyle \kappa }$, no hay cardenales estrictamente entre${\displaystyle \kappa }$y${\displaystyle 2^{\kappa }}$Tanto la hipótesis del continuo como la hipótesis del continuo generalizado han demostrado ser independientes de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos, los axiomas de Zermelo-Fraenkel junto con el axioma de elección ( ZFC ).

De hecho, el teorema de Easton muestra que, para cardinales regulares${\displaystyle \kappa }$, las únicas restricciones que ZFC impone sobre la cardinalidad de${\displaystyle 2^{\kappa }}$son que${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })}$y que la función exponencial no es decreciente.

La noción de cardinalidad, tal como se entiende ahora, fue formulada por Georg Cantor , el creador de la teoría de conjuntos , entre 1874 y 1884. Cantor observó que existe una biyección entre dos conjuntos finitos si y solo si tienen el mismo número de elementos, y aplicó este concepto de biyección a conjuntos infinitos ^{[ 23 ]} (por ejemplo, el conjunto de los números naturales N = {0, 1, 2, 3, ...}). Así, denominó conjuntos numerables (infinitos numerables) a todos los conjuntos que tienen una biyección con N , los cuales comparten el mismo número cardinal. A los números cardinales de los conjuntos infinitos los llamó números cardinales transfinitos .

Cantor demostró que cualquier subconjunto no acotado de N tiene la misma cardinalidad que N , aunque esto pueda parecer contrario a la intuición. También demostró que el conjunto de todos los pares ordenados de números naturales es numerable; esto implica que el conjunto de todos los números racionales también lo es, puesto que todo número racional puede representarse mediante un par de enteros. Posteriormente, demostró que el conjunto de todos los números algebraicos reales también es numerable. Cada número algebraico real z puede codificarse como una secuencia finita de enteros, que son los coeficientes en la ecuación polinómica de la cual es una solución, es decir, la n -tupla ordenada ( a ₀ , a ₁ , ..., a _n ), a _i ∈ Z junto con un par de racionales ( b ₀ , b ₁ ) tales que z es la raíz única (si existe) del polinomio con coeficientes ( a ₀ , a ₁ , ..., a _n ) que se encuentra en el intervalo ( b ₀ , b ₁ ).

En su artículo de 1874 « Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales », Cantor demostró la existencia de números cardinales de orden superior, mostrando que el conjunto de los números reales tiene una cardinalidad mayor que la de N. Su demostración empleó un argumento con intervalos anidados , pero en un artículo de 1891, demostró el mismo resultado utilizando su ingenioso y mucho más sencillo argumento diagonal . El nuevo número cardinal del conjunto de los números reales se denomina cardinalidad del continuo , y Cantor utilizó el símbolo${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$por ello.

Cantor también desarrolló una gran parte de la teoría general de los números cardinales; demostró que (suponiendo el axioma de elección) existe un número cardinal transfinito más pequeño (${\displaystyle \aleph _{0}}$, aleph-null), y que para cada número cardinal hay un siguiente número cardinal más grande

${\displaystyle (\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\ldots ).}$

Cantor formuló la hipótesis del continuo en 1878. En 1940, Kurt Gödel demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse a partir de ZFC, y en 1963, Paul Cohen demostró que tampoco puede probarse a partir de ZFC, estableciendo así su independencia .

Notas

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