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Cardinalidad del continuo

En teoría de conjuntos , la cardinalidad del continuo es la cardinalidad o "tamaño" del conjunto de números reales. R {\displaystyle \mathbb {R} } , a veces llamado continuo . E...

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En teoría de conjuntos , la cardinalidad del continuo es la cardinalidad o "tamaño" del conjunto de números reales.R{\displaystyle \mathbb {R} }, a veces llamado continuo . Es un número cardinal infinito y se denota pordo{\displaystyle {\mathbf {\mathfrak {c}}}}( Fraktur minúscula " c ") o|R|.{\displaystyle {\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}.}[ 1 ]

Las cifras realesR{\displaystyle \mathbb {R} }son más numerosos que los números naturalesnorte{\displaystyle \mathbb {N} }. Además,R{\displaystyle \mathbb {R} }tiene el mismo número de elementos que el conjunto potencia denorte{\displaystyle \mathbb {N} }. Simbólicamente, si la cardinalidad denorte{\displaystyle \mathbb {N} }se denota comoℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}, la cardinalidad del continuo es

do=2ℵ0>ℵ0.{\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}.}

Esto fue demostrado por Georg Cantor en su prueba de incontables de 1874, parte de su innovador estudio sobre los diferentes infinitos. La desigualdad fue posteriormente enunciada de forma más sencilla en su argumento diagonal de 1891. Cantor definió la cardinalidad en términos de funciones biyectivas : dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si y solo si existe una función biyectiva entre ellos.

Entre dos números reales cualesquiera a  < b , por muy cercanos que estén entre sí, siempre existen infinitos otros números reales, y Cantor demostró que son tantos como los contenidos en el conjunto completo de los números reales. En otras palabras, el intervalo abierto ( a , b ) es equinumeroso con R{\displaystyle \mathbb {R} }, así como con otros conjuntos infinitos, como cualquier espacio euclidiano n -dimensionalRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}(ver curva de llenado del espacio ). Es decir,

|(a,b)|=|R|=|Rnorte|.{\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}

El número cardinal infinito más pequeño esℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}( aleph-nulo ). El segundo más pequeño esℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}( aleph-uno ). La hipótesis del continuo , que afirma que no hay conjuntos cuya cardinalidad sea estrictamente entreℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}ydo{\displaystyle {\mathfrak {c}}}, significa quedo=ℵ1{\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}. [ 2 ] Esta hipótesis es independiente de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ampliamente utilizada con axioma de elección (ZFC); es decir, ZFC no puede probar que sea verdadera ni que sea falsa.

Propiedades

No contable

Georg Cantor introdujo el concepto de cardinalidad para comparar los tamaños de conjuntos infinitos. Demostró, de forma célebre, que el conjunto de los números reales es infinito no numerable . Es decir,do{\displaystyle {\mathfrak {c}}}es estrictamente mayor que la cardinalidad de los números naturales ,ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}:

ℵ0<do.{\displaystyle \aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.}

En la práctica, esto significa que hay estrictamente más números reales que enteros. Cantor demostró esta afirmación de varias maneras. Para más información sobre este tema, consulte la primera demostración de no numerabilidad de Cantor y el argumento diagonal de Cantor .

Igualdades cardinales

Una variación del argumento diagonal de Cantor puede usarse para demostrar el teorema de Cantor , que establece que la cardinalidad de cualquier conjunto es estrictamente menor que la de su conjunto potencia . Es decir,|A|<2|A|{\displaystyle |A|<2^{|A|}}(y para que el conjunto de potencias℘(norte){\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}de los números naturalesnorte{\displaystyle \mathbb {N} }es incontable). [ 3 ] De hecho, la cardinalidad de℘(norte){\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}, por definición2ℵ0{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}, es igual ado{\displaystyle {\mathfrak {c}}}Esto se puede demostrar proporcionando mapeos biyectivos en ambas direcciones entre subconjuntos de un conjunto infinito numerable y números reales, y aplicando el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder según el cual dos conjuntos con mapeos biyectivos en ambas direcciones tienen la misma cardinalidad. [ 4 ] [ 5 ] En una dirección, los números reales se pueden igualar con cortes de Dedekind , conjuntos de números racionales, [ 4 ] o con sus expansiones binarias . [ 5 ] En la otra dirección, las expansiones binarias de números en el intervalo semiabierto[0,1){\displaystyle [0,1)}, vistos como conjuntos de posiciones donde la expansión es uno, casi dan una correspondencia uno a uno de subconjuntos de un conjunto contable (el conjunto de posiciones en las expansiones) a números reales, pero no es uno a uno para números con expansiones binarias terminantes, que también pueden representarse mediante una expansión no terminante que termina en una secuencia repetitiva de 1s. Esto puede convertirse en una correspondencia uno a uno mediante que suma uno a las expansiones repetitivas de 1 no terminantes, mapeándolas a[1,2){\displaystyle [1,2)}. [ 5 ] Por lo tanto, concluimos que [ 4 ] [ 5 ]

do=|℘(norte)|=2ℵ0.{\displaystyle {\mathfrak {c}}=|\wp (\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.}

La igualdad cardinaldo2=do{\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}}se puede demostrar utilizando aritmética cardinal :

do2=(2ℵ0)2=22×ℵ0=2ℵ0=do.{\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}

Utilizando las reglas de la aritmética cardinal, también se puede demostrar que

doℵ0=ℵ0ℵ0=norteℵ0=donorte=ℵ0do=nortedo=do{\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}

donde n es cualquier cardinal finito ≥ 2 y

dodo=(2ℵ0)do=2do×ℵ0=2do{\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}}

dónde2do{\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}es la cardinalidad del conjunto potencia de R y2do>do{\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}.

Explicación alternativa para 𝔠 = 2 א ‎ 0

Cada número real tiene al menos una expansión decimal infinita . Por ejemplo,

1/2 = 0,50000...
1/3 = 0,33333...
π = 3,14159....

(Esto es cierto incluso en el caso de que la expansión se repita, como en los dos primeros ejemplos).

En cualquier caso dado, el número de decimales es contable ya que se pueden poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de números naturales.norte{\displaystyle \mathbb {N} }. Esto hace que tenga sentido hablar, por ejemplo, del primer, el centésimo o el millonésimo lugar decimal de π. Dado que los números naturales tienen cardinalidadℵ0,{\displaystyle \aleph _{0},}cada número real tieneℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}dígitos en su expansión.

Dado que cada número real se puede dividir en una parte entera y una fracción decimal, obtenemos:

do≤ℵ0⋅10ℵ0≤2ℵ0⋅(24)ℵ0=2ℵ0+4⋅ℵ0=2ℵ0{\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq \aleph _{0}\cdot 10^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}

donde utilizamos el hecho de que

ℵ0+4⋅ℵ0=ℵ0.{\displaystyle \aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}\,.}

Por otro lado, si mapeamos2={0,1}{\displaystyle 2=\{0,1\}}a{3,7}{\displaystyle \{3,7\}}y considerando que las fracciones decimales que contienen solo 3 o 7 son solo una parte de los números reales, entonces obtenemos

2ℵ0≤do{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}\,}

y por lo tanto

do=2ℵ0.{\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\,.}

Números de Beth

La secuencia de números de Beth se define estableciendoℶ0=ℵ0{\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}yℶk+1=2ℶk{\displaystyle \beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}}. Entoncesdo{\displaystyle {\mathfrak {c}}}es el segundo número de Beth, Beth-uno :

do=ℶ1.{\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}.}

El tercer número de Beth, Beth-dos , es la cardinalidad del conjunto potencia deR{\displaystyle \mathbb {R} }(es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de la recta real ):

2do=ℶ2.{\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.}

La hipótesis del continuo

La hipótesis del continuo afirma quedo{\displaystyle {\mathfrak {c}}}es también el segundo número aleph ,ℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}. [ 2 ] En otras palabras, la hipótesis del continuo afirma que no hay un conjuntoA{\displaystyle A}cuya cardinalidad se encuentra estrictamente entreℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}ydo{\displaystyle {\mathfrak {c}}}

∄A:ℵ0<|A|<do.{\displaystyle \nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.}

Ahora se sabe que esta afirmación es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), como demostraron Kurt Gödel y Paul Cohen . [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] Es decir, tanto la hipótesis como su negación son consistentes con estos axiomas. De hecho, para cada número natural distinto de cero n , la igualdaddo{\displaystyle {\mathfrak {c}}}=ℵnorte{\displaystyle \aleph _{n}}es independiente de ZFC (casonorte=1{\displaystyle n=1}siendo la hipótesis del continuo). Lo mismo ocurre con la mayoría de los demás alephs, aunque en algunos casos, la igualdad puede descartarse por el teorema de König en función de la cofinalidad (por ejemplo,do≠ℵω{\displaystyle {\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }}). En particular,do{\displaystyle {\mathfrak {c}}}podría ser cualquieraℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}oℵω1{\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}}, dóndeω1{\displaystyle \omega _{1}}es el primer ordinal no contable , por lo que podría ser un cardinal sucesor o un cardinal límite , y un cardinal regular o un cardinal singular .

Conjuntos con cardinalidad del continuo

Muchos conjuntos estudiados en matemáticas tienen una cardinalidad igual ado{\displaystyle {\mathfrak {c}}}Algunos ejemplos comunes son los siguientes:

  • los números realesR{\displaystyle \mathbb {R} }
  • cualquier intervalo cerrado o abierto ( no degenerado ) enR{\displaystyle \mathbb {R} }(como el intervalo unitario)[0,1]{\displaystyle [0,1]})
  • los números irracionales
  • los números trascendentales
    El conjunto de números algebraicos reales es infinito numerable (asignamos a cada fórmula su número de Gödel ). Por lo tanto, la cardinalidad de los números algebraicos reales esℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}Además , los números algebraicos reales y los números trascendentales reales son conjuntos disjuntos cuya unión esR{\displaystyle \mathbb {R} }. Por lo tanto, dado que la cardinalidad deR{\displaystyle \mathbb {R} }esdo{\displaystyle {\mathfrak {c}}}, la cardinalidad de los números trascendentales reales esdo−ℵ0=do{\displaystyle {\mathfrak {c}}-\aleph _{0}={\mathfrak {c}}}. Un resultado similar se obtiene para los números trascendentales complejos, una vez que hemos demostrado que|do|=do{\displaystyle \left\vert \mathbb {C} \right\vert ={\mathfrak {c}}}.
  • el conjunto Cantor
  • espacio euclidianoRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}[ 9 ]
  • los números complejosdo{\displaystyle \mathbb {C} }

    Según la demostración de Cantor sobre la cardinalidad del espacio euclidiano, [ 9 ]|R2|=do{\displaystyle \left\vert \mathbb {R} ^{2}\right\vert ={\mathfrak {c}}}. Por definición, cualquierdo∈do{\displaystyle c\in \mathbb {C} }puede expresarse de forma única comoa+bi{\displaystyle a+bi}para algunosa,b∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }Por lo tanto , definimos la biyección .

    F:R2→do(a,b)↦a+bi{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {C} \\(a,b)&\mapsto a+bi\end{aligned}}}
  • el conjunto potencia de los números naturalesPAG(norte){\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}(el conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales)
  • el conjunto de secuencias de enteros (es decir, todas las funciones)norte→Z{\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }, a menudo denotadoZnorte{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }})
  • el conjunto de secuencias de números reales,Rnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
  • el conjunto de todas las funciones continuas deR{\displaystyle \mathbb {R} }aR{\displaystyle \mathbb {R} }
  • la topología euclidiana enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}(es decir, el conjunto de todos los conjuntos abiertos enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}})
  • el σ-álgebra de Borel enR{\displaystyle \mathbb {R} }(es decir, el conjunto de todos los conjuntos de Borel enR{\displaystyle \mathbb {R} }).
  • el grupo cociente abelianoR/Q{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }, asumiendo el Axioma de Elección

Conjuntos con mayor cardinalidad

Conjuntos con cardinalidad mayor quedo{\displaystyle {\mathfrak {c}}}incluir:

  • el conjunto de todos los subconjuntos deR{\displaystyle \mathbb {R} }(es decir, conjunto de potencias)PAG(R){\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )})
  • el conjunto 2 R de funciones indicadoras definidas en subconjuntos de los números reales (el conjunto2R{\displaystyle 2^{\mathbb {R} }}es isomorfo aPAG(R){\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )} – la función indicadora elige los elementos de cada subconjunto que se incluirán)
  • el conjuntoRR{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}de todas las funciones deR{\displaystyle \mathbb {R} }aR{\displaystyle \mathbb {R} }
  • el σ-álgebra de Lebesgue deR{\displaystyle \mathbb {R} }, es decir, el conjunto de todos los conjuntos medibles de Lebesgue enR{\displaystyle \mathbb {R} }.
  • el conjunto de todas las funciones integrables de Lebesgue desdeR{\displaystyle \mathbb {R} }aR{\displaystyle \mathbb {R} }
  • el conjunto de todas las funciones medibles de Lebesgue desdeR{\displaystyle \mathbb {R} }aR{\displaystyle \mathbb {R} }
  • las compactificaciones de Stone-Čech denorte{\displaystyle \mathbb {N} },Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, yR{\displaystyle \mathbb {R} }
  • el conjunto de todos los automorfismos del cuerpo (discreto) de los números complejos.

Todos estos tienen cardinalidad2do=ℶ2{\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}}( Beth dos ).

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Número transfinito | matemáticas" . Enciclopedia Británica . Consultado el 12 de agosto de 2020 .
  2. 1 2 Weisstein, Eric W. "Continuum" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 12 de agosto de 2020 .
  3. ↑ "Teorema de Cantor" . Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press. 2001 [1994].
  4. 1 2 3 Stillwell, John (2002). "El problema del continuo". American Mathematical Monthly . 109 (3): 286– 297. doi : 10.1080/00029890.2002.11919865 . JSTOR 2695360 . MR 1903582 .  
  5. 1 2 3 4 Johnson, DL (1998). «Números cardinales». Capítulo 6: Números cardinales . Elementos de lógica mediante números y conjuntos. Serie de matemáticas para estudiantes de pregrado de Springer. Springer Londres. págs. 113–130 . doi : 10.1007/978-1-4471-0603-6_6 . ISBN  9781447106036.
  6. ↑ Gödel, Kurt (31 de diciembre de 1940). Consistencia de la hipótesis del continuo. (AM-3) . doi : 10.1515/9781400881635 . ISBN 9781400881635.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  7. ↑ Cohen, Paul J. (diciembre de 1963). "La independencia de la hipótesis del continuo" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 50 (6): 1143– 1148. Bibcode : 1963PNAS...50.1143C . doi : 10.1073 / pnas.50.6.1143 . ISSN 0027-8424 . PMC 221287. PMID 16578557 .   
  8. ↑ Cohen, Paul J. (enero de 1964). "La independencia de la hipótesis del continuo, II" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 51 ( 1): 105–110 . Bibcode : 1964PNAS...51..105C . doi : 10.1073/pnas.51.1.105 . ISSN 0027-8424 . PMC 300611. PMID 16591132 .   
  9. 1 2 Gouvêa, Fernando Q. "¿Se sorprendió Cantor?" (PDF) . American Mathematical Monthly (marzo de 2011): 198–209 . Archivado del original (PDF) el 24 de abril de 2014.

Bibliografía

  • Paul Halmos , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6(Edición de Springer-Verlag).
  • Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: Tercera edición del milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: Una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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