Teorema del punto fijo de Caristi

En matemáticas , el teorema del punto fijo de Caristi (también conocido como teorema del punto fijo de Caristi-Kirk ) generaliza el teorema del punto fijo de Banach para aplicaciones de un espacio métrico completo en sí mismo. El teorema del punto fijo de Caristi modifica el teorema del punto fijo de Banach.${\displaystyle \varepsilon }$- principio variacional de Ekeland (1974, 1979). ^{[ 1 ] [ 2 ]} La conclusión del teorema de Caristi es equivalente a la completitud métrica, como demostró Weston (1977). ^{[ 3 ]} El resultado original se debe a los matemáticos James Caristi y William Arthur Kirk . ^{[ 4 ]}

El teorema del punto fijo de Caristi se puede aplicar para derivar otros resultados clásicos de punto fijo, y también para demostrar la existencia de soluciones acotadas de una ecuación funcional . ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle (X,d)}$Sea un espacio métrico completo.${\displaystyle T:X\to X}$y${\displaystyle f:X\to [0,+\infty )}$ser una función semicontinua inferior de${\displaystyle X}$en los números reales no negativos . Supongamos que, para todos los puntos${\displaystyle x}$en${\displaystyle X,}$$${\displaystyle d(x,T(x))\leq f(x)-f(T(x)).}$$

Entonces${\displaystyle T}$tiene un punto fijo en${\displaystyle X;}$es decir, un punto${\displaystyle x_{0}}$de tal manera que${\displaystyle T(x_{0})=x_{0}.}$La demostración de este resultado utiliza el lema de Zorn para garantizar la existencia de un elemento mínimo que resulta ser un punto fijo deseado. ^{[ 6 ]}