Linealización de Carleman

En matemáticas, la linealización de Carleman (o incrustación de Carleman ) es una técnica para transformar un sistema dinámico no lineal de dimensión finita en un sistema lineal de dimensión infinita. Fue introducida por el matemático sueco Torsten Carleman en 1932. ^[1] La linealización de Carleman está relacionada con el operador de composición y se ha utilizado ampliamente en el estudio de sistemas dinámicos. También se ha utilizado en muchos campos aplicados, como en la teoría de control ^{[2] [3]} y en la computación cuántica . ^{[4] [5]}

Consideremos el siguiente sistema autónomo no lineal:

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)d_{j}(t)}$

donde denota el vector de estado del sistema. Además, y son funciones vectoriales analíticas conocidas, y es el elemento de una perturbación desconocida del sistema. ${\displaystyle x\en R^{n}}$${\estilo de visualización f}$$estilo de visualización g_{i}}$$estilo de visualización d_ {j}}$${\displaystyle j^{ésimo}}$

En el punto nominal deseado, las funciones no lineales en el sistema anterior se pueden aproximar mediante la expansión de Taylor.

${\displaystyle f(x)\simeq f(x_{0})+\sum _{k=1}^{\eta }{\frac {1}{k!}}\partial f_{[k]}\mid _{x=x_{0}}(x-x_{0})^{[k]}}$

donde es la derivada parcial de con respecto a en y denota el producto de Kronecker. ${\displaystyle \parcial f_{[k]}\mid _{x=x_{0}}}$${\displaystyle k^{ésimo}}$${\estilo de visualización f(x)}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x=x_{0}}$${\displaystyle x^{[k]}}$${\displaystyle k^{ésimo}}$

Sin pérdida de generalidad, asumimos que está en el origen. $estilo de visualización x_{0}}$

Aplicando la aproximación de Taylor al sistema, obtenemos

${\displaystyle {\dot {x}}\simeq \suma _{k=0}^{\eta }A_{k}x^{[k]}+\suma _{j=1}^{m}\suma _{k=0}^{\eta }B_{jk}x^{[k]}d_{j}}$

donde y . ${\displaystyle A_{k}={\frac {1}{k!}}\parcial f_{[k]}\mid _{x=0}}$${\displaystyle B_{jk}={\frac {1}{k!}}\partial g_{j[k]}\mid _{x=0}}$

En consecuencia, se obtiene el siguiente sistema lineal para órdenes superiores de los estados originales:

${\displaystyle {\frac {d(x^{[i]})}{dt}}\simeq \sum _{k=0}^{\eta -i+1}A_{i,k}x^{[k+i-1]}+\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=0}^{\eta -i+1}B_{j,i,k}x^{[k+i-1]}d_{j}}$

donde , y de manera similar . ${\displaystyle A_{i,k}=\sum _{l=0}^{i-1}I_{n}^{[l]}\otimes A_{k}\otimes I_{n}^{[i-1-l]}}$${\displaystyle B_{j,i,\kappa }=\sum _{l=0}^{i-1}I_{n}^{[l]}\otimes B_{j,\kappa }\otimes I_{n}^{[i-1-l]}}$

Utilizando el operador de producto Kronecker, el sistema aproximado se presenta en la siguiente forma

${\displaystyle {\dot {x}}_{\otimes }\simeq Ax_{\otimes }+\sum _{j=1}^{m}[B_{j}x_{\otimes }d_{j}+B_{j0}d_{j}]+A_{r}}$

donde las matrices , y y se definen en (Hashemian y Armaou 2015). ^[6]${\displaystyle x_{\otimes }={\begin{bmatrix}x^{T}&x^{{[2]}^{T}}&...&x^{{[\eta ]}^{T}}\end{bmatrix}}^{T}}$${\displaystyle A,B_{j},A_{r}}$${\displaystyle B_{j,0}}$

• Matriz de Carleman
• Operador de composición

• Conferencia sobre la linealización de Carleman a cargo de Igor Mezić