Desigualdad de Carleman

La desigualdad de Carleman es una desigualdad en matemáticas , llamada así en honor a Torsten Carleman , quien la demostró en 1923 ^[1] y la utilizó para demostrar el teorema de Denjoy-Carleman en clases cuasi-analíticas . ^{[2] [3]}

Sea una secuencia de números reales no negativos , entonces ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\puntos}$

${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{1/n}\leq \mathrm {e} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}.}$

La constante (número de Euler) en la desigualdad es óptima, es decir, la desigualdad no siempre se cumple si se reemplaza por un número menor. La desigualdad es estricta (se cumple con "<" en lugar de "≤") si algún elemento de la secuencia es distinto de cero. ${\displaystyle \mathrm {e}}$${\displaystyle \mathrm {e}}$

La desigualdad de Carleman tiene una versión integral, que establece que

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp \left\{{\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}\ln f(t)\,\mathrm {d} t\right\}\,\mathrm {d} x\leq \mathrm {e} \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}$

para cualquier f  ≥ 0.

Una generalización, debida a Lennart Carleson , establece lo siguiente: ^[4]

para cualquier función convexa g con g (0) = 0, y para cualquier -1 <  p  < ∞,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{p}\mathrm {e} ^{-g(x)/x}\,\mathrm {d} x\leq \mathrm {e} ^{p+1}\int _{0}^{\infty }x^{p}\mathrm {e} ^{-g'(x)}\,\mathrm {d} x.}$

La desigualdad de Carleman se deduce del caso p  = 0.

A continuación se esboza una demostración elemental. A partir de la desigualdad de las medias aritmética y geométrica aplicada a los números${\displaystyle 1\cdot a_{1},2\cdot a_{2},\dots ,n\cdot a_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {MG} (a_{1},\dots ,a_{n})=\mathrm {MG} (1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}\leq \mathrm {MA} (1a_{1},2a_{2},\dots ,na_{n})(n!)^{-1/n}}$

donde MG representa la media geométrica y MA la media aritmética. La desigualdad de tipo Stirling aplicada a implica ${\displaystyle n!\geq {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}\mathrm {e} ^{-n}}$${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle (n!)^{-1/n}\leq {\frac {\mathrm {e} }{n+1}}}$a pesar de${\displaystyle n\geq 1.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle MG(a_{1},\dots ,a_{n})\leq {\frac {\mathrm {e} }{n(n+1)}}\,\sum _{1\leq k\leq n}ka_{k}\,,}$

De dónde

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}MG(a_{1},\dots ,a_{n})\leq \,\mathrm {e} \,\sum _{k\geq 1}{\bigg (}\sum _{n\geq k}{\frac {1}{n(n+1)}}{\bigg )}\,ka_{k}=\,\mathrm {e} \,\sum _{k\geq 1}\,a_{k}\,,}$

Demostrando la desigualdad. Además, se sabe que la desigualdad de las medias aritméticas y geométricas de números no negativos es una igualdad si y solo si todos los números coinciden, es decir, en el presente caso, si y solo si para . En consecuencia, la desigualdad de Carleman nunca es una igualdad para una serie convergente, a menos que todas se anulen, simplemente porque la serie armónica es divergente. ${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{k}=C/k}$${\displaystyle k=1,\dots ,n}$${\displaystyle a_{n}}$

También se puede demostrar la desigualdad de Carleman comenzando con la desigualdad de Hardy.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}}$

para los números no negativos a ₁ , a ₂ ,... y p  > 1, reemplazando cada a _n por a^{1/ pág}
_., y dejando p  → ∞.

Christian Axler y Mehdi Hassani investigaron la desigualdad de Carleman para los casos específicos de donde es el número primo. También investigaron el caso donde . ^[5] Encontraron que si uno puede reemplazar con en la desigualdad de Carleman, pero que si entonces permanecía como la mejor constante posible. ${\displaystyle a_{i}=p_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{p_{i}}}}$${\displaystyle a_{i}=p_{i}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{p_{i}}}}$${\displaystyle e}$

• Hardy, GH; Littlewood JE; Pólya, G. (1952). Desigualdades, 2.ª ed . Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.
• Rassias, Thermistocles M., ed. (2000). Encuesta sobre desigualdades clásicas . Kluwer Academic. ISBN 0-7923-6483-X.
• Hörmander, Lars (1990). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I: teoría de distribución y análisis de Fourier, 2.ª ed . Springer. ISBN 3-540-52343-X.

• "Desigualdad de Carleman", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]