Teorema de Carleson

El teorema de Carleson es un resultado fundamental en ^el análisis matemático que establece la convergencia puntual ( de Lebesgue ) casi en todas partes de las series de Fourier de funciones L² , demostrado por Lennart Carleson . ^{[ 1 ]} El nombre también se usa a menudo para referirse a la extensión del resultado de Richard Hunt a funciones L²p para ^p ∈ (1, ∞ ) (también conocido como el teorema de Carleson - Hunt) y los resultados análogos para la convergencia puntual casi en todas partes de las integrales de Fourier , que pueden demostrarse como equivalentes mediante métodos de transferencia. ^{[ 2 ]}

El resultado, tal como lo amplía Hunt, puede enunciarse formalmente de la siguiente manera:

Sea f una función periódica L ^p para algún p ∈ (1, ∞ ] , con coeficientes de Fourier${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$. Entonces$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e^{inx}=f(x)}$$para casi todos los x . 

El resultado análogo para las integrales de Fourier es:

Sea f ∈ L ^p ( R ) para algún p ∈ (1, 2 ] que tenga transformada de Fourier${\displaystyle {\sombrero {f}}(\xi )}$. Entonces$${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =f(x)}$$para casi todo x ∈ R .

Una cuestión fundamental sobre las series de Fourier, planteada por el propio Fourier a principios del siglo XIX, es si la serie de Fourier de una función continua converge puntualmente a la función.

Reforzando ligeramente la hipótesis de continuidad, se puede demostrar fácilmente que la serie de Fourier converge en todas partes. Por ejemplo, si una función tiene variación acotada , su serie de Fourier converge en todas partes al promedio local de la función. En particular, si una función es continuamente diferenciable , su serie de Fourier converge a ella en todas partes. Esto fue demostrado por Dirichlet , quien expresó su convicción de que pronto podría extender su resultado a todas las funciones continuas. Otra forma de obtener la convergencia en todas partes es cambiar el método de suma. Por ejemplo, el teorema de Fejér muestra que si se reemplaza la suma ordinaria por la suma de Cesàro , la serie de Fourier de cualquier función continua ^converge uniformemente a la función. Además, es fácil demostrar que la serie de Fourier de cualquier función L² converge a ella en norma ^L² .

Tras el resultado de Dirichlet, varios expertos, entre ellos Dirichlet, Riemann , Weierstrass y Dedekind , afirmaron creer que la serie de Fourier de cualquier función continua convergería en todos los puntos. Esto fue refutado por Paul du Bois-Reymond , quien demostró en 1876 que existe una función continua cuya serie de Fourier diverge en un punto .

La convergencia casi en todas partes de las series de Fourier para funciones L ² fue postulada por NN Luzin , ^{[ 3 ]} y el problema se conoció como la conjetura de Luzin hasta su demostración por Carleson. ^{[ 1 ]} Kolmogorov (1923) demostró que el análogo de la conjetura de Luzin para L ¹ es falso al encontrar una función cuya serie de Fourier diverge casi en todas partes (mejorada ligeramente en 1926 a diverge en todas partes). ^{[ 4 ]} Antes del resultado de Carleson, la mejor estimación conocida para las sumas parciales s _n de la serie de Fourier de una función en L ^p fue $${\displaystyle s_{n}(x)=o(\log(n)^{1/p}){\text{ casi en todas partes}}.}$$ En otras palabras, la función s _n ( x ) aún puede crecer hasta el infinito en cualquier punto x dado a medida que se toman más y más términos de la serie de Fourier, aunque el crecimiento debe ser bastante lento (más lento que el logaritmo de n elevado a una potencia pequeña). Este resultado fue demostrado por Kolmogorov–Seliverstov–Plessner para p = 2 , por GH Hardy para p = 1 , y por Littlewood–Paley para p > 1 . ^{[ 5 ]} Este resultado no había sido mejorado durante varias décadas, lo que llevó a algunos expertos a sospechar que era el mejor posible y que la conjetura de Luzin era falsa. El contraejemplo de Kolmogorov en L ¹ no estaba acotado en ningún intervalo , pero se pensaba que era solo cuestión de tiempo antes de que se encontrara un contraejemplo continuo. Carleson declaró en una entrevista de 2007 que comenzó intentando encontrar un contraejemplo continuo y que en un momento dado creyó tener un método para construirlo, pero finalmente se dio cuenta de que su enfoque no funcionaría. Entonces, en cambio, intentó demostrar la conjetura de Luzin, ya que el fracaso de su contraejemplo lo convenció de que probablemente era cierta. ^{[ 6 ]}

La demostración original de Carleson es excepcionalmente difícil de leer, y aunque varios autores han simplificado el argumento, todavía no hay demostraciones fáciles de su teorema. Las exposiciones del artículo original incluyen Kahane (1995) , ^{[ 7 ]} Mozzochi (1971) , ^{[ 8 ]} Jørsboe y Mejlbro (1982) , ^{[ 9 ]} y Arias de Reyna (2002) . ^{[ 10 ]} Charles Fefferman publicó una nueva demostración de la extensión de Hunt que procedía acotando un operador maximal . ^{[ 11 ] Esto, a su vez, inspiró una demostración mucho más} simplificada del resultado L2 por Michael Lacey y Christoph Thiele ( 2000 ) , ^{[ 12 ]} explicada con más detalle en Lacey (2004) . ^{[ 13 ]} Los libros Fremlin (2003) y Grafakos (2014) también ofrecen demostraciones del teorema de Carleson. ^{[ 14 ] [ 15 ]} El teorema se formalizó en Lean 4 en 2025. 

Katznelson (1966) demostró que para cualquier conjunto de medida cero existe una función periódica continua cuya serie de Fourier diverge en todos los puntos del conjunto (y posiblemente en otros). ^{[ 16 ]} Al combinarse con el teorema de Carleson, esto demuestra que existe una función continua cuya serie de Fourier diverge en todos los puntos de un conjunto dado de números reales si y solo si el conjunto tiene medida cero.

La extensión del teorema de Carleson a L ^p para p > 1 se afirmó como una extensión "bastante obvia" del caso p = 2 en el artículo de Carleson, y fue demostrada por Hunt. ^{[ 2 ]} El resultado de Carleson fue mejorado aún más por Sjölin (1971) al espacio L log ₊ ( L )log ₊ log ₊ ( L ) ^{[ 17 ]} y por Antonov (1996) al espacio L log ₊ ( L )log ₊ log ₊ log ₊ ( L ) . ^{[ 18 ]} (Aquí log ₊ ( L ) es log( L ) si L > 1 y 0 en caso contrario, y si φ es una función, entonces φ ( L ) representa el espacio de funciones f tales que φ ( | f ( x ) | ) es integrable .)

Konyagin (2000) mejoró el contraejemplo de Kolmogorov al encontrar funciones con series de Fourier divergentes en todas partes en un espacio ligeramente mayor que L log ₊ ( L ) ^1/2 . ^{[ 19 ]} Cabe preguntarse si existe, en cierto sentido, un espacio natural máximo de funciones cuyas series de Fourier convergen casi en todas partes. El candidato más simple para tal espacio que sea consistente con los resultados de Antonov y Konyagin es L log ₊ ( L ) .

La extensión del teorema de Carleson a las series de Fourier e integrales en varias variables se complica debido a las múltiples formas de sumar los coeficientes; por ejemplo, se puede sumar sobre bolas crecientes o rectángulos crecientes. La convergencia de las sumas parciales rectangulares (y de hecho, de las sumas parciales poligonales generales) se deduce del caso unidimensional, pero el problema de la suma esférica sigue abierto para L² ^.

El operador de Carleson C es el operador no lineal definido por $${\displaystyle Cf(x)=\sup _{N}\left|\int _{-N}^{N}{\hat {f}}(y)e^{2\pi ixy}\,dy\right|}$$

Es relativamente fácil demostrar que el teorema de Carleson-Hunt se deduce de la acotación del operador de Carleson de L ^p ( R ) a sí mismo para 1 < p < ∞ . Sin embargo, demostrar que es acotado es difícil, y esto fue precisamente lo que Carleson demostró.

• Convergencia de series de Fourier

• Telyakovskii, SA (2001) [1994], "Teorema de Carleson" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press