Teorema de Carmichael

En teoría de números , el teorema de Carmichael , llamado así por el matemático estadounidense R. D. Carmichael , establece que, para cualquier secuencia de Lucas no degenerada de primera especie U _n ( P , Q ) con parámetros relativamente primos P , Q y discriminante positivo, un elemento U _n con n ≠ 1, 2, 6 tiene al menos un divisor primo que no divide a ninguno anterior excepto al duodécimo número de Fibonacci F(12) = U ₁₂ (1, −1) = 144 y su equivalente U ₁₂ (−1, −1) = −144.

En particular, para n mayor que 12, el n -ésimo número de Fibonacci F( n ) tiene al menos un divisor primo que no divide a ningún número de Fibonacci anterior.

Carmichael (1913, Teorema 21) demostró este teorema . Recientemente, Yabuta (2001) ^[1] dio una prueba sencilla.

Declaración

Dados dos números enteros relativamente primos P y Q , tales que y $PQ$ $\neq 0$ , sea $U$ $n$ $($ $P$ $,$ $Q$ $)$ la sucesión de Lucas de primera clase definida por $D=P^{2}-4Q>0$

{\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\qquad {\mbox{ para }}n>1.\end{aligned}}

Entonces, para n ≠ 1, 2, 6, U _n ( P , Q ) tiene al menos un divisor primo que no divide ningún U _m ( P , Q ) con m < n , excepto U ₁₂ (1, −1) = F(12) = 144, U _{12 (−1, −1) = −F(12) = −144. Un primo}p de este tipo se denomina factor característico o divisor primo primitivo de U _n ( P , Q ). De hecho, Carmichael mostró un teorema ligeramente más fuerte: Para n ≠ 1, 2, 6, U _n ( P , Q ) tiene al menos un divisor primo primitivo que no divide a D ^[2] excepto U ₃ (1, −2) = U ₃ (−1, −2) = 3, U ₅ (1, −1) = U ₅ (−1, −1) = F(5) = 5, U ₁₂ (1, −1) = F(12) = 144, U ₁₂ (−1, −1) = −F(12) = −144.

Nótese que D debe ser mayor que 0; por lo tanto, los casos U ₁₃ (1, 2), U ₁₈ (1, 2) y U ₃₀ (1, 2), etc. no se incluyen, ya que en este caso D = −7 < 0.

Casos de Fibonacci y Pell

Las únicas excepciones en el caso de Fibonacci para n hasta 12 son:

F(1) = 1 y F(2) = 1, que no tienen divisores primos

F(6) = 8, cuyo único divisor primo es 2 (que es F(3))

F(12) = 144, cuyos únicos divisores primos son 2 (que es F(3)) y 3 (que es F(4))

Los divisores primos primitivos más pequeños de F( n ) son

1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441, ... (secuencia A001578 en la OEIS )

El teorema de Carmichael dice que cada número de Fibonacci, aparte de las excepciones enumeradas anteriormente, tiene al menos un divisor primo primitivo.

Si n > 1, entonces el n -ésimo número de Pell tiene al menos un divisor primo que no divide a ningún número de Pell anterior. Los divisores primos primitivos más pequeños del n -ésimo número de Pell son

1, 2, 5, 3, 29, 7, 13, 17, 197, 41, 5741, 11, 33461, 239, 269, 577, 137, 199, 37, 19, 45697, 23, 229, 1153, 1549, 79, 53, 113, 44560482149, 31, 61, 665857, 52734529, 103, 1800193921, 73, 593, 9369319, 389, 241, ... (secuencia A246556 en la OEIS )

Véase también

Teorema de Zsigmondy

Referencias

^ Yabuta, M (2001). "Una prueba simple del teorema de Carmichael sobre divisores primitivos" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 39 : 439–443 . Consultado el 4 de octubre de 2018 .
^ En la definición de un divisor primo primitivo p , a menudo se requiere que p no divida al discriminante.

Carmichael, RD (1913), "Sobre los factores numéricos de las formas aritméticas α ⁿ ±β ⁿ ", Annals of Mathematics , 15 (1/4): 30–70, doi :10.2307/1967797, JSTOR 1967797.

[1] Yabuta, M (2001). "Una prueba simple del teorema de Carmichael sobre divisores primitivos" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 39 : 439–443 . Consultado el 4 de octubre de 2018 .

[2] En la definición de un divisor primo primitivo p , a menudo se requiere que p no divida al discriminante.