Problema de la regla del carpintero

El problema de la regla del carpintero es un problema de geometría discreta que puede plantearse de la siguiente manera: ¿Puede un polígono plano simple desplazarse continuamente a una posición donde todos sus vértices se encuentren en posición convexa , conservando la longitud de sus aristas y su simplicidad? Un problema estrechamente relacionado consiste en demostrar que cualquier cadena poligonal sin autointersecciones puede enderezarse mediante una transformación continua que preserve las distancias entre aristas y evite los cruces.

Ambos problemas fueron resueltos satisfactoriamente por Connelly, Demaine y Rote (2003) .

El problema recibe su nombre de las reglas de madera articuladas que eran populares entre los carpinteros en el siglo XIX y principios del XX, antes de que las mejoras en las cintas métricas de metal las hicieran obsoletas.

Posteriormente, Ileana Streinu proporcionó una demostración combinatoria simplificada formulada en la terminología de la planificación de movimientos de brazos robóticos . Tanto la demostración original como la de Streinu funcionan encontrando movimientos no expansivos de la entrada, transformaciones continuas tales que ningún par de puntos se mueve jamás uno hacia el otro. La versión de Streinu de la demostración añade aristas a la entrada para formar una pseudotriangulación puntiaguda , elimina una arista de la envoltura convexa añadida de este grafo y muestra que el grafo resultante tiene una familia de movimientos de un parámetro en la que todas las distancias son no decrecientes. Al aplicar repetidamente dichos movimientos, se llega finalmente a un estado en el que no son posibles más movimientos expansivos, lo que solo puede ocurrir cuando la entrada se ha enderezado o convexificado.

Streinu y Whiteley (2005) aplican este resultado a las matemáticas del plegado de papel : describen cómo plegar cualquier figura de origami de un solo vértice utilizando únicamente movimientos simples del papel que no se autointersecan. En esencia, este proceso de plegado es una versión invertida del problema de convexificar un polígono de longitud menor que π, pero sobre la superficie de una esfera en lugar del plano euclidiano. Este resultado fue extendido por Panina y Streinu (2010) para polígonos esféricos de longitud de arista menor que 2π.

John Pardon ( 2009 ) generalizó el problema de la regla del carpintero a curvas rectificables . Demostró que toda curva de Jordan rectificable puede hacerse convexa sin aumentar su longitud ni disminuir la distancia entre ningún par de puntos. Esta investigación, realizada cuando aún era estudiante de secundaria, le valió a Pardon el segundo premio en el concurso Intel Science Talent Search de 2007 ( Cunningham, 2007 ) . 

• Flujo de acortamiento de curva , una transformación continua de una curva cerrada en el plano que eventualmente la convexifica.

• Connelly, Robert ; Demaine, Erik D .; Rote, Günter (2003), "Enderezamiento de arcos poligonales y convexificación de ciclos poligonales" (PDF) , Geometría Discreta y Computacional , 30 (2): 205–239 , doi : 10.1007/s00454-003-0006-7 , MR 1931840 Una versión preliminar apareció en el 41.º Simposio Anual sobre Fundamentos de la Informática , 2000.
• Cunningham, Aimee (17 de marzo de 2007), "La próxima generación", Science News : 166, doi : 10.1002/scin.2007.5591711108.
• Streinu, Ileana (2000), "Un enfoque combinatorio para la planificación del movimiento de brazos robóticos planares sin colisiones" , Actas del 41.º Simposio Anual sobre Fundamentos de la Informática , IEEE Computer Society, pp. 443–453 , doi : 10.1109/SFCS.2000.892132 , ISBN  0-7695-0850-2, MR 1931841 , S2CID 9420124  
• Panina, Gaiane; Streinu, Ileana (2010), "Aplanamiento del origami de un solo vértice: El caso no expansivo", Geometría Computacional: Teoría y Aplicaciones , 43 (8): 678– 687, arXiv : 1003.3490 , doi : 10.1016/j.comgeo.2010.04.002 , MR 1931841 
• Pardon, John (2009), "Sobre el desarrollo de curvas cerradas simples", Transactions of the American Mathematical Society , 361 (4): 1749– 1764, arXiv : 0809.1404 , doi : 10.1090/S0002-9947-08-04781-8 , MR 2465815 , S2CID 230031  .
• Streinu, Ileana ; Whiteley, Walter (2005), "Origami de un solo vértice y movimientos expansivos esféricos", Geometría discreta y computacional: Conferencia japonesa, JCDCG 2004, Tokio, Japón, 8-11 de octubre de 2004, Artículos seleccionados revisados , Lecture Notes in Computer Science, vol.  3742, Springer-Verlag, pp. 161–173 , MR 2212105  

• Página de Erik Demaine con animaciones del movimiento de enderezamiento aplicado a algunos enlaces.