densidad de portadores de carga

La densidad de portadores de carga , también conocida como concentración de portadores , indica el número de portadores de carga por unidad de volumen . En unidades del SI , se mide en m⁻³ ^. Como cualquier densidad , en principio puede depender de la posición. Sin embargo, generalmente la concentración de portadores se expresa como un único valor y representa la densidad promedio de portadores en todo el material.

Las densidades de portadores de carga implican ecuaciones relativas a la conductividad eléctrica , fenómenos relacionados como la conductividad térmica y enlaces químicos como el enlace covalente .

La densidad de portadores se suele obtener teóricamente integrando la densidad de estados sobre el rango de energía de los portadores de carga en el material (por ejemplo, integrando sobre la banda de conducción para los electrones, integrando sobre la banda de valencia para los huecos).

Si se conoce el número total de portadores de carga, la densidad de portadores se puede encontrar simplemente dividiendo por el volumen. Para mostrar esto matemáticamente, la densidad de portadores de carga es una densidad de partículas , por lo que integrándola sobre un volumen${\displaystyle V}$indica el número de portadores de carga${\displaystyle N}$en ese volumen $${\displaystyle N=\int _{V}n(\mathbf {r} )\,dV.}$$ dónde${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$es la densidad de portadores de carga dependiente de la posición.

Si la densidad no depende de la posición y en cambio es igual a una constante${\displaystyle n_{0}}$Esta ecuación se simplifica a $${\displaystyle N=V\cdot n_{0}.}$$

La densidad de portadores es importante para los semiconductores , donde es una magnitud importante para el proceso de dopaje químico . Utilizando la teoría de bandas , la densidad electrónica${\displaystyle n_{0}}$es el número de electrones por unidad de volumen en la banda de conducción. Para los huecos,${\displaystyle p_{0}}$es el número de huecos por unidad de volumen en la banda de valencia. Para calcular este número para los electrones, se considera que la densidad total de electrones de la banda de conducción,${\displaystyle n_{0}}$, está determinado por la suma de las densidades de electrones de conducción a través de las diferentes energías en la banda, desde el fondo de la banda${\displaystyle E_{c}}$hasta la cima de la banda${\displaystyle E_{\text{superior}}}$.

$${\displaystyle n_{0}=\int _{E_{c}}^{E_{\text{top}}}N(E)\,dE}$$

Debido a que los electrones son fermiones , la densidad de electrones de conducción a cualquier energía particular,${\displaystyle N(E)}$es el producto de la densidad de estados ,${\displaystyle g(E)}$o cuántos estados conductores son posibles, con la distribución de Fermi-Dirac ,${\displaystyle f(E)}$lo que nos indica la porción de esos estados que realmente tendrán electrones en ellos $${\displaystyle N(E)=g(E)f(E)}$$

Para simplificar el cálculo, en lugar de tratar a los electrones como fermiones, según la distribución de Fermi-Dirac, los tratamos como un gas clásico no interactuante, dado por la distribución de Maxwell-Boltzmann . Esta aproximación tiene efectos despreciables cuando la magnitud${\displaystyle |E-E_{f}|\gg k_{\text{B}}T}$Esto es cierto para los semiconductores cerca de la temperatura ambiente. Esta aproximación no es válida a temperaturas muy bajas o con una banda prohibida extremadamente pequeña.

$${\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}\approx e^{-{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}$$

La densidad de estados tridimensional es:$${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}}$$

Tras combinar y simplificar estas expresiones, se obtiene:

$${\displaystyle n_{0}=2\left({\frac {m^{*}k_{\text{B}}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {E_{c}-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}$$

Aquí${\displaystyle m^{*}}$es la masa efectiva de los electrones en ese semiconductor en particular, y la cantidad${\displaystyle E_{c}-E_{f}}$es la diferencia de energía entre la banda de conducción y el nivel de Fermi , que es la mitad de la brecha de banda,${\displaystyle E_{g}}$:

$${\displaystyle E_{g}=2(E_{c}-E_{f})}$$

Se puede derivar una expresión similar para los huecos. La concentración de portadores se puede calcular tratando los electrones que se mueven de un lado a otro a través de la banda prohibida como el equilibrio de una reacción reversible de la química, lo que lleva a una ley de acción de masas electrónica . La ley de acción de masas define una cantidad${\displaystyle n_{i}}$denominada concentración intrínseca de portadores, que para materiales no dopados:

$${\displaystyle n_{i}=n_{0}=p_{0}}$$

La siguiente tabla enumera algunos valores de la concentración intrínseca de portadores para semiconductores intrínsecos , en orden creciente de banda prohibida.

Estas concentraciones de portadores cambiarán si estos materiales se dopan. Por ejemplo, dopar silicio puro con una pequeña cantidad de fósforo aumentará la densidad de portadores de electrones, n . Entonces, como n > p , el silicio dopado será un semiconductor extrínseco de tipo n . Dopar silicio puro con una pequeña cantidad de boro aumentará la densidad de portadores de huecos, por lo que p > n , y será un semiconductor extrínseco de tipo p.

La densidad de portadores también es aplicable a los metales , donde se puede estimar a partir del modelo simple de Drude . En este caso, la densidad de portadores (en este contexto, también llamada densidad de electrones libres) se puede estimar mediante: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{m}}{m_{a}}}}$$

Dónde${\displaystyle N_{\text{A}}}$es la constante de Avogadro , Z es el número de electrones de valencia ,${\displaystyle \rho _{m}}$es la densidad del material, y${\displaystyle m_{a}}$es la masa atómica . Dado que los metales pueden mostrar múltiples números de oxidación , la definición exacta de cuántos "electrones de valencia" debe tener un elemento en forma elemental es algo arbitraria, pero la siguiente tabla enumera las densidades de electrones libres dadas en Ashcroft y Mermin , que se calcularon utilizando la fórmula anterior basada en suposiciones razonables sobre la valencia,${\displaystyle Z}$y con densidades de masa,${\displaystyle \rho _{m}}$calculado a partir de datos cristalográficos experimentales . ^{[ 5 ]}

Los valores de n entre los metales, inferidos por ejemplo mediante el efecto Hall , suelen ser del mismo orden de magnitud, pero este modelo simple no puede predecir la densidad de portadores con mucha precisión.

La densidad de portadores de carga se puede determinar en muchos casos utilizando el efecto Hall , ^{[ 6 ]} cuyo voltaje depende inversamente de la densidad de portadores.