La paradoja de Carroll

En física , la paradoja de Carroll surge al considerar el movimiento de una varilla rígida en caída libre sometida a restricciones especiales. Si se considera de una manera, el momento angular permanece constante; si se considera de otra manera, cambia. Recibe su nombre de Michael M. Carroll, quien la publicó por primera vez en 1984.

Consideremos dos círculos concéntricos de radio${\displaystyle r_{1}}$y${\displaystyle r_{2}}$como podría dibujarse en la esfera de un reloj de pared. Supongamos una varilla rígida y pesada uniforme de longitud${\displaystyle l=|r_{2}-r_{1}|}$La varilla queda restringida entre estos dos círculos, de modo que un extremo permanece en el círculo interior y el otro en el exterior. Su movimiento a lo largo de estos círculos, que actúan como guías, es sin fricción. La varilla se mantiene en la posición de las tres en punto, de forma que quede horizontal, y luego se suelta.

Ahora consideremos el momento angular alrededor del centro de la varilla:

1. Tras ser liberada, la varilla cae. Al estar restringida, debe girar durante su movimiento. Cuando alcanza la posición vertical de las seis en punto, ha perdido energía potencial y, debido a que el movimiento es sin fricción, habrá ganado energía cinética . Por lo tanto, posee momento angular.
2. La fuerza de reacción ejercida sobre la varilla por cualquiera de las guías circulares es sin fricción, por lo que debe estar dirigida a lo largo de la varilla; no puede haber ninguna componente de la fuerza de reacción perpendicular a la varilla. Al tomar momentos respecto al centro de la varilla, no puede haber ningún momento actuando sobre ella, por lo que su momento angular permanece constante. Dado que la varilla comienza con momento angular cero, debe mantenerlo en cero en todo momento.

Una aparente solución a esta paradoja es que la situación física no puede darse. Para mantener la varilla en posición radial, los círculos deben ejercer una fuerza infinita. En la vida real, no sería posible construir guías que no ejerzan una fuerza de reacción significativa perpendicular a la varilla. Sin embargo, Victor Namias cuestionó la existencia de fuerzas infinitas y argumentó que una varilla de espesor finito experimenta un par de torsión alrededor de su centro de masa incluso en el límite cuando su anchura tiende a cero.

• Carroll, Michael M. (noviembre de 1984). "Restricciones singulares en la dinámica de cuerpos rígidos". American Journal of Physics . 52 (11): 1010– 1012. Bibcode : 1984AmJPh..52.1010C . doi : 10.1119/1.13777 .
• Namias, Victor (mayo de 1986). "Sobre una aparente paradoja en el movimiento de una varilla suavemente restringida". American Journal of Physics . 54 (5): 440– 445. Bibcode : 1986AmJPh..54..440N . doi : 10.1119/1.14610 .
• Felszeghy, Stephen F. (1986). "Sobre las llamadas restricciones singulares en la dinámica de cuerpos rígidos". American Journal of Physics . 54 (7): 585– 586. Bibcode : 1986AmJPh..54..585F . doi : 10.1119/1.14533 .