Constante de Carter

La constante de Carter es una magnitud conservada para el movimiento alrededor de agujeros negros en la formulación relativista general de la gravedad. Sus unidades base del SI son kg² ^· m⁴ ^· s⁻² ^. La constante de Carter fue derivada para un agujero negro cargado y en rotación por el físico teórico australiano Brandon Carter en 1968. La constante de Carter, junto con la energía${\displaystyle p_{t}}$, momento angular axial${\displaystyle p_{\phi }}$y masa en reposo de la partícula${\displaystyle {\sqrt {|p_{\mu }p^{\mu }|}}}$Proporcionar las cuatro cantidades conservadas necesarias para determinar de forma unívoca todas las órbitas en el espaciotiempo de Kerr-Newman (incluso las de partículas cargadas).

Carter observó que el hamiltoniano para el movimiento en el espaciotiempo de Kerr era separable en coordenadas de Boyer-Lindquist , lo que permitía identificar fácilmente las constantes de dicho movimiento utilizando la teoría de Hamilton-Jacobi . ^{[ 1 ]} La constante de Carter se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta {\Bigg (}a^{2}(m^{2}-E^{2})+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}{\Bigg )}}$,

dónde${\displaystyle p_{\theta }}$es la componente latitudinal del momento angular de la partícula,${\displaystyle E=p_{t}}$es la energía conservada de la partícula,${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$es el momento angular axial conservado de la partícula,${\displaystyle m={\sqrt {|p_{\mu }p^{\mu }|}}}$es la masa en reposo de la partícula, y${\displaystyle a}$es el parámetro de espín del agujero negro que satisface${\displaystyle 0\leq a\leq M}$. ^{[ 2 ]} Tenga en cuenta que aquí${\displaystyle p_{\mu }}$denota las componentes covariantes del cuadrimomento en coordenadas de Boyer-Lindquist que se pueden calcular a partir de la posición de la partícula.${\displaystyle X^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )}$parametrizado por el tiempo propio de la partícula${\displaystyle \tau }$utilizando su cuatro velocidades${\displaystyle U^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau }$como${\displaystyle p_{\mu }=g_{\mu \nu }p^{\nu }}$dónde${\displaystyle p^{\mu }=mU^{\mu }}$es el cuadrimomento y${\displaystyle g_{\mu \nu }}$es la métrica de Kerr . Por lo tanto, la constante de energía conservada y la constante de momento angular no deben confundirse con la energía.${\displaystyle U_{\rm {obs}}^{\mu }p_{\mu }}$medido por un observador y el momento angular ${\displaystyle \mathbf {L} ={\boldsymbol {x}}\wedge {\boldsymbol {p}}=rp_{\theta }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+rp_{\phi }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}=mrg_{\theta \theta }{\dot {\theta }}{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+mr(g_{t\phi }{\dot {t}}+g_{\phi \phi }{\dot {\phi }}){\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}}$. El componente de momento angular a lo largo de${\displaystyle z}$es${\displaystyle L_{xy}}$lo cual coincide con${\displaystyle p_{\phi }}$.

Debido a que las funciones de cantidades conservadas también se conservan, cualquier función de${\displaystyle C}$y las otras tres constantes del movimiento pueden usarse como una cuarta constante en lugar de${\displaystyle C}$Esto genera cierta confusión en cuanto a la forma de la constante de Carter. Por ejemplo, a veces es más conveniente usar:

${\displaystyle K=C+(L_{z}-aE)^{2}}$

en lugar de${\displaystyle C}$. La cantidad${\displaystyle K}$es útil porque siempre es no negativo. En general, cualquier cuarta cantidad conservada para el movimiento en la familia de espaciostiempos de Kerr puede denominarse "constante de Carter". En el${\displaystyle a=0}$límite,${\displaystyle C=L^{2}-L_{z}^{2}}$y${\displaystyle K=L^{2}}$, dónde${\displaystyle L}$es la norma del vector de momento angular, véase el límite de Schwarzschild más abajo. Nótese que mientras${\displaystyle C=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}\geq 0}$y${\displaystyle K=L^{2}\geq 0}$en el caso Schwarzschild,${\displaystyle C}$puede ser positivo o negativo en el caso general con${\displaystyle a>0}$. Por ejemplo, las geodésicas temporales puramente radiales que caen hacia adentro o hacia afuera tienen${\displaystyle L_{z}=p_{\theta }=0}$y una estrictamente negativa${\displaystyle C}$.

El teorema de Noether establece que cada cantidad conservada de un sistema genera una simetría continua de dicho sistema. La constante de Carter está relacionada con una simetría de orden superior de la métrica de Kerr generada por un campo tensorial de Killing de segundo orden.${\displaystyle \mathbf {K} }$(diferente${\displaystyle K}$que el utilizado anteriormente). En forma de componente:

${\displaystyle C=K^{\mu \nu }u_{\mu }u_{\nu }}$,

dónde${\displaystyle u}$es la cuadrivelocidad de la partícula en movimiento. Los componentes del tensor de Killing en coordenadas de Boyer-Lindquist son:

${\displaystyle K^{\mu \nu }=2\Sigma \ l^{(\mu }n^{\nu )}+r^{2}g^{\mu \nu }}$,

dónde${\displaystyle g^{\mu \nu }}$son los componentes del tensor métrico y${\displaystyle l^{\mu }}$y${\displaystyle n^{\nu }}$son los componentes de los vectores nulos principales:

${\displaystyle l^{\mu }=\left({\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }},1,0,{\frac {a}{\Delta }}\right)}$

${\displaystyle n^{\nu }=\left({\frac {r^{2}+a^{2}}{2\Sigma }},-{\frac {\Delta }{2\Sigma }},0,{\frac {a}{2\Sigma }}\right)}$

con

${\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \ ,\ \ \Delta =r^{2}-r_{s}\ r+a^{2}}$.

Los paréntesis en${\displaystyle l^{(\mu }n^{\nu )}}$son notación para la simetrización:

${\displaystyle l^{(\mu }n^{\nu )}={\frac {1}{2}}(l^{\mu }n^{\nu }+l^{\nu }n^{\mu })}$

La constante de Carter por unidad de masa al cuadrado puede expresarse con la cuadrivelocidad como

${\displaystyle {\frac {C}{m^{2}}}=g_{\theta \theta }{\dot {\theta }}^{2}+\cos ^{2}\theta {\Bigg (}a^{2}(1-(g_{tt}{\dot {t}}+g_{t\phi }{\dot {\phi }})^{2})+\left({\frac {g_{\phi t}{\dot {t}}+g_{\phi \phi }{\dot {\phi }}}{\sin \theta }}\right)^{2}{\Bigg )}}$

Asintóticamente para valores grandes${\displaystyle r\gg M}$, esto tiende a

${\displaystyle {\frac {C}{m^{2}}}=(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta )^{2}{\dot {\theta }}^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \left[1-\left[\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}+{\frac {2Ma\sin ^{2}\theta }{r}}{\dot {\phi }}\right]^{2}\right]+\left[(r^{2}+a^{2})\,{\dot {\phi }}-{\frac {2Ma}{r}}{\dot {t}}\right]^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta }$

${\displaystyle C=m^{2}\gamma ^{2}r^{2}(v_{\theta }^{2}+v_{\phi }^{2}\cos ^{2}\theta )-4m^{2}Ma\gamma ^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta \,v_{\phi }+m^{2}\gamma ^{2}a^{2}\cos ^{2}\theta \,(v_{\theta }^{2}+v_{\phi }^{2}-v_{r}^{2})}$

${\displaystyle \quad =L^{2}-L_{z}^{2}-4\gamma {\frac {mM}{r}}a\cos ^{2}\theta \,L_{z}+m^{2}\gamma ^{2}a^{2}\cos ^{2}\theta \,(v_{\theta }^{2}+v_{\phi }^{2}-v_{r}^{2})}$

dónde${\displaystyle U^{\mu }=dx^{\mu }/d\tau }$,${\displaystyle v^{i}=dx^{i}/dt}$,${\displaystyle v_{r}=dr/dt}$,${\displaystyle v_{\theta }=r\,d\theta /dt}$,${\displaystyle v_{\phi }=r\sin \theta \,d\phi /dt}$,${\displaystyle \gamma =dt/d\tau =(1-v^{2})^{-1/2}}$,${\displaystyle v=(v_{i}v^{i})^{1/2}}$,${\displaystyle \mathbf {L} =\gamma m\mathbf {x} \times \mathbf {v} }$,${\displaystyle {L}=\gamma mr{\sqrt {v_{\theta }^{2}+v_{\phi }^{2}}}}$,${\displaystyle L_{z}=\gamma mr\sin \theta \,v_{\phi }}$válido asintóticamente para${\displaystyle r\gg 2M}$. Dado que${\displaystyle C}$y${\displaystyle L_{z}}$se conservan esto demuestra que${\displaystyle L^{2}}$se conserva solo hasta${\displaystyle a/r}$correcciones. Esto es similar al comportamiento del momento angular de una partícula que se mueve en el potencial gravitatorio de un cuerpo extendido de tamaño${\displaystyle a}$.

La simetría esférica de la métrica de Schwarzschild para agujeros negros sin espín permite reducir el problema de encontrar las trayectorias de las partículas a tres dimensiones. En este caso, solo se necesita${\displaystyle E}$,${\displaystyle L_{z}}$, y${\displaystyle m}$para determinar el movimiento; sin embargo, la simetría que conduce a la constante de Carter aún existe. La constante de Carter para el espacio de Schwarzschild es:

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+L_{z}^{2}\cot ^{2}\theta }$.

Para ver cómo esto se relaciona con la forma doble del momento angular${\displaystyle L_{ij}=x_{i}\wedge p_{j}}$en coordenadas esféricas donde${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=r{\boldsymbol {dr}}}$ y${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=p_{r}{\boldsymbol {dr}}+p_{\theta }{\boldsymbol {d\theta }}+p_{\phi }{\boldsymbol {d\phi }}}$, dónde${\displaystyle (p_{r},p_{\theta },p_{\phi })=(g_{rr}p^{r},g_{\theta \theta }p^{\theta },g_{\phi \phi }p^{\phi })=m((1-2M/r)^{-1}{\dot {r}},r^{2}{\dot {\theta }},r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }})}$y dónde${\displaystyle {\dot {\phi }}=d\phi /d\tau }$y de manera similar para${\displaystyle {\dot {\theta }}}$, tenemos

${\displaystyle \mathbf {L} ={\boldsymbol {x}}\wedge {\boldsymbol {p}}=rp_{\theta }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+rp_{\phi }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}=mr^{3}{\dot {\theta }}{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+mr^{3}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}\,{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}}$.

Desde${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=r{\boldsymbol {d\theta }}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}=r\sin \theta \,{\boldsymbol {d\phi }}}$representan una base ortonormal, el dual de Hodge de${\displaystyle \mathbf {L} }$es la única forma

${\displaystyle {\boldsymbol {L^{*}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+mr^{2}\sin \theta \,{\dot {\phi }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

coherente con ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {r}}}\times m{\vec {\boldsymbol {v}}}}$aunque aquí${\displaystyle {\dot {\theta }}}$y${\displaystyle {\dot {\phi }}}$son con respecto al tiempo adecuado. Su norma es

${\displaystyle L^{2}=g^{\theta \theta }r^{2}p_{\theta }^{2}+g^{\phi \phi }r^{2}p_{\phi }^{2}=g_{\theta \theta }r^{2}(p^{\theta })^{2}+g_{\phi \phi }r^{2}(p^{\phi })^{2}=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}}$.

Además, desde entonces${\displaystyle p_{\theta }=g_{\theta \theta }p^{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}}$y${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=g_{\phi \phi }p^{\phi }=mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}}$, al sustituir obtenemos

${\displaystyle C=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}-m^{2}r^{4}\sin ^{4}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}=L^{2}-L_{z}^{2}}$.

En el caso de Schwarzschild, todos los componentes del vector de momento angular se conservan, por lo que ambos ${\displaystyle L^{2}}$y${\displaystyle L_{z}^{2}}$se conservan, por lo tanto${\displaystyle C}$está claramente conservado. Para Kerr,${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$se conserva pero${\displaystyle p_{\theta }}$y${\displaystyle L^{2}}$Sin embargo, no lo son.${\displaystyle C}$se conserva.

La otra forma de la constante de Carter es la cantidad conservada siempre no negativa.

${\displaystyle K=C+(L_{z}-aE)^{2}=(L^{2}-L_{z}^{2})+(L_{z}-aE)^{2}=L^{2}}$

ya que aquí${\displaystyle a=0}$Esto también se conserva claramente. En el caso Schwarzschild ambos${\displaystyle C\geq 0}$y${\displaystyle K\geq 0}$, dónde${\displaystyle K=0}$son órbitas radiales y${\displaystyle C=0}$con${\displaystyle K>0}$corresponde a órbitas confinadas al plano ecuatorial del sistema de coordenadas, es decir${\displaystyle \theta =\pi /2}$para siempre.

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• Métrica de Kerr-Newman
• Coordenadas de Boyer-Lindquist
• ecuación de Hamilton-Jacobi
• El problema de los tres cuerpos de Euler