Subgrupo Carter

En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de grupos , un subgrupo de Carter de un grupo finito G es un subgrupo autonormalizante de G que es nilpotente . Estos subgrupos fueron introducidos por Roger Carter y marcaron el comienzo de la teoría de grupos resolubles posterior a 1960 (Wehrfritz 1999).

Carter (1961) demostró que cualquier grupo finito resoluble tiene un subgrupo de Carter, y todos sus subgrupos de Carter son subgrupos conjugados (y por lo tanto isomorfos). Si un grupo no es resoluble, no necesita tener ningún subgrupo de Carter: por ejemplo, el grupo alternado A ₅ de orden 60 no tiene subgrupos de Carter. Vdovin (2006, 2007) demostró que incluso si un grupo finito no es resoluble, entonces dos subgrupos de Carter cualesquiera son conjugados.

Un subgrupo de Carter es un subgrupo nilpotente maximal, debido a la condición normalizadora para grupos nilpotentes, pero no todos los subgrupos nilpotentes maximalistas son subgrupos de Carter (Ballester-Bolinches y Ezquerro 2006, p. 100). Por ejemplo, cualquier subgrupo propio no identidad del grupo no abeliano de orden seis es un subgrupo nilpotente maximal, pero solo los de orden dos son subgrupos de Carter. Todo subgrupo que contenga un subgrupo de Carter de un grupo soluble también es autonormalizante, y un grupo soluble es generado por cualquier subgrupo de Carter y su residuo nilpotente (Schenkman 1975, VII.4.a).

Gaschütz (1962) consideró los subgrupos de Carter como análogos de los subgrupos de Sylow y los subgrupos de Hall , y unificó su tratamiento con la teoría de formaciones . En el lenguaje de las formaciones, un p -subgrupo de Sylow es un grupo de cobertura para la formación de p -grupos, un π -subgrupo de Hall es un grupo de cobertura para la formación de π -grupos, y un subgrupo de Carter es un grupo de cobertura para la formación de grupos nilpotentes (Ballester-Bolinches & Ezquerro 2006, p. 100). Junto con una generalización importante, las clases de Schunck , y una dualización importante, las clases de Fischer , las formaciones formaron los principales temas de investigación de finales del siglo XX en la teoría de grupos solubles finitos.

Bernd Fischer introdujo una noción dual para los subgrupos de Carter en (Fischer 1966). Un subgrupo de Fischer de un grupo es un subgrupo nilpotente que contiene todos los demás subgrupos nilpotentes que normaliza. Un subgrupo de Fischer es un subgrupo nilpotente maximalista, pero no todo subgrupo nilpotente maximalista es un subgrupo de Fischer: nuevamente, el grupo no abeliano de orden seis proporciona un ejemplo, ya que todo subgrupo propio no identitario es un subgrupo nilpotente maximalista, pero solo el subgrupo de orden tres es un subgrupo de Fischer (Wehrfritz 1999, p. 98).

• Subálgebra de Cartan
• Subgrupo Cartan

• Ballester-Bolinches, Adolfo; Ezquerro, Luis M. (2006), Clases de grupos finitos , Matemáticas y sus aplicaciones (Springer), vol. 584, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4020-4718-3, Sr.  2241927
• Carter, Roger W. (1961), "Subgrupos autonormalizantes nilpotentes de grupos solubles", Mathematische Zeitschrift , 75 (2): 136–139, doi :10.1007/BF01211016, S2CID  120448397
• Fischer, Bernd (1966), "Klassen konjugierter Untergruppen in endlichen auflösbaren Gruppen", Habilitationsschrift , Universität Frankfurt am Mainz
• Huppert, Bernd (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, MR  0224703, OCLC  527050, especialmente Cap. VI, §12, págs. 736-743
• Gaschütz, Wolfgang (1962), "Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen", Mathematische Zeitschrift , 80 : 300–305, doi :10.1007/BF01162386, ISSN  0025-5874, MR  0179257, S2CID  116064482
• Schenkman, Eugene (1975), Teoría de grupos , Robert E. Krieger Publishing, ISBN 978-0-88275-070-5, Sr.  0460422
• Vdovin, Evgenii P. (2006), "Sobre el problema de la conjugación de los subgrupos de Carter. (Ruso)", Sibirskiĭ Matematicheskiĭ Zhurnal , 47 (4): 725–730, SEÑOR  2265277traducción en Siberian Mathematical Journal 47 (2006), no. 4, 597–600.
• Vdovin, Evgenii P. (2007), "Subgrupos de Carter en grupos finitos casi simples. (Ruso.)", Algebra i Logika , 46 (2): 157–216, MR  2356523
• Vil'yams, NN (2001) [1994], "Subgrupo de Carter", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Wehrfritz, Bertram AF (1999), Grupos finitos , River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-3874-2, Sr.  1733917