fibración cartesiana

En matemáticas, especialmente en teoría de homotopía , una fibración cartesiana es, a grandes rasgos, una aplicación tal que existe cada elevación que es un objeto final entre todas las elevaciones. Por ejemplo, el functor olvidadizo.

${\displaystyle {\textrm {QCoh}}\to {\textrm {Sch}}}$

de la categoría de pares${\displaystyle (X,F)}$de esquemas y haces cuasi-coherentes sobre ellos es una fibración cartesiana (véase §  Ejemplo básico ). De hecho, la construcción de Grothendieck dice que todas las fibraciones cartesianas son de este tipo; es decir, simplemente omiten datos adicionales. Véase también: categoría fibrada , preapilamiento .

La dual de una fibración cartesiana se llama fibración op ; en particular, no una fibración cocartesiana.

Una fibración derecha entre conjuntos simpliciales es un ejemplo de fibración cartesiana.

Dado un functor${\displaystyle \pi :C\to S}$, un morfismo${\displaystyle f:x\to y}$en${\displaystyle C}$se llama${\displaystyle \pi }$-cartesiano o simplemente cartesiano si el mapa natural

${\displaystyle (f_{*},\pi ):\operatorname {Hom} (z,x)\to \operatorname {Hom} (z,y)\times _{\operatorname {Hom} (\pi (z),\pi (y))}\operatorname {Hom} (\pi (z),\pi (x))}$

es biyectiva. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Explícitamente, por lo tanto,${\displaystyle f:x\to y}$es cartesiano si se da

• ${\displaystyle g:z\to y}$y
• ${\displaystyle u:\pi (z)\to \pi (x)}$

con${\displaystyle \pi (g)=\pi (f)\circ u}$, existe un único${\displaystyle g':z\to x}$en${\displaystyle \pi ^{-1}(u)}$de tal manera que${\displaystyle f\circ g'=g}$.

Entonces${\displaystyle \pi }$se denomina fibración cartesiana si para cada morfismo de la forma${\displaystyle f:s\to \pi (z)}$En S , existe un${\displaystyle \pi }$-morfismo cartesiano${\displaystyle g:a\to z}$en C tal que${\displaystyle \pi (g)=f}$. ^{[ 3 ]} Aquí, el objeto${\displaystyle a}$es único salvo isomorfismos únicos (si${\displaystyle b\to z}$es otro ascensor, hay uno único${\displaystyle b\to a}$, que se demuestra que es un isomorfismo). Debido a esto, el objeto${\displaystyle a}$a menudo se piensa en el retroceso de${\displaystyle z}$y a veces incluso se denota como${\displaystyle f^{*}z}$. ^{[ 4 ]} Además, de manera informal,${\displaystyle g}$Se dice que es un objeto final entre todos los ascensores de${\displaystyle f}$.

Un morfismo${\displaystyle \varphi$ :\pi \to \rho } entre fibraciones cartesianas sobre la misma base S es una aplicación (functor) sobre la base; es decir,${\displaystyle \pi =\rho \circ \varphi }$que envía morfismos cartesianos a morfismos cartesianos. ^{[ 5 ]} Dado${\displaystyle \varphi ,\psi$ :\pi \to \rho } , un 2-morfismo${\displaystyle \theta$ :\varphi \rightarrow \psi } es una aplicación invertible (mapa = transformación natural ) tal que para cada objeto${\displaystyle E}$en la fuente de${\displaystyle \pi }$,${\displaystyle \theta _ {E}:\varphi (E)\to \psi (E)}$se asigna al mapa de identidad del objeto${\displaystyle \rho (\varphi (E))=\rho (\psi (E))}$bajo${\displaystyle \rho }$.

De esta forma, todas las fibraciones cartesianas sobre la categoría base fija S determinan la (2, 1)-categoría denotada por${\displaystyle \operatorname {Carrito} (S)}$. ^{[ 6 ]}

Dejar${\displaystyle \operatorname {QCoh} }$ser la categoría donde

• un objeto es un par${\displaystyle (X,F)}$de un plan${\displaystyle X}$y un haz cuasi coherente${\displaystyle F}$sobre él,
• un morfismo${\displaystyle {\overline {f}}:(X,F)\to (Y,G)}$consiste en un morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$de esquemas y un homomorfismo de haces${\displaystyle \varphi _{f}:f^{*}G{\overset {\sim }{\to }}F}$en${\displaystyle X}$,
• la composición${\displaystyle {\overline {g}}\circ {\overline {f}}}$de${\displaystyle {\overline {g}}:(Y,G)\to (Z,H)}$y superior${\displaystyle {\overline {f}}}$es el morfismo (único)${\displaystyle {\overline {h}}}$de tal manera que${\displaystyle h=g\circ f}$y${\displaystyle \varphi _{h}}$es

  ${\displaystyle (g\circ f)^{*}H\simeq f^{*}g^{*}H{\overset {f^{*}\varphi _{g}}{\to }}f^{*}G{\overset {\varphi _{f}}{\to }}F.}$

Para ver el mapa olvidadizo

${\displaystyle \pi$ :\operatorname {QCoh} \to \operatorname {Sch} }

es una fibración cartesiana, ^{[ 7 ]} sea${\displaystyle f:X\to \pi ((Y,G))}$estar en${\displaystyle \operatorname {QCoh} }$. Llevar

${\displaystyle {\overline {f}}=(f,\varphi _{f}):(X,F)\to (Y,G)}$

con${\displaystyle F=f^{*}G}$y${\displaystyle \varphi _{f}=\operatorname {id} }$Afirmamos${\displaystyle {\overline {f}}}$es cartesiano. Dado${\displaystyle {\overline {g}}:(Z,H)\to (Y,G)}$y${\displaystyle h:Z\to X}$con${\displaystyle g=f\circ h}$, si${\displaystyle \varphi _{h}}$existe tal que${\displaystyle {\overline {g}}={\overline {f}}\circ {\overline {h}}}$, entonces tenemos${\displaystyle \varphi _{g}}$es

${\displaystyle (f\circ h)^{*}G\simeq h^{*}f^{*}G=h^{*}F{\overset {\varphi _{h}}{\to }}H.}$

Entonces, lo requerido${\displaystyle {\overline {h}}}$Existe trivialmente y es único.

Tenga en cuenta que algunos autores consideran${\displaystyle \operatorname {QCoh} ^{\simeq }}$, el núcleo de${\displaystyle \operatorname {QCoh} }$en cambio. En ese caso, el mapa olvidadizo restringido a él también es una fibración cartesiana.

Dada una categoría${\displaystyle S}$, la construcción de Grothendieck da una equivalencia de ∞-categorías entre${\displaystyle \operatorname {Cart} (S)}$y la ∞-categoría de preapilamientos en${\displaystyle S}$(prestacks = prehaces con valores de categoría). ^{[ 8 ]}

En términos generales, la construcción se realiza de la siguiente manera: dada una fibración cartesiana${\displaystyle \pi }$, dejamos${\displaystyle F_{\pi }:S^{op}\to {\textbf {Cat}}}$sea ​​el mapa que envía cada objeto x en S a la fibra${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$. Entonces,${\displaystyle F_{\pi }}$es un${\displaystyle {\textbf {Cat}}}$prehaz valorado o un preapilamiento. Por el contrario, dado un preapilamiento${\displaystyle F}$, definir la categoría${\displaystyle C_{F}}$donde un objeto es un par${\displaystyle (x,a)}$con${\displaystyle a\in F(x)}$y luego dejar${\displaystyle \pi }$ser el functor olvidadizo para${\displaystyle S}$. Entonces, estas dos asignaciones dan la equivalencia alegada.

Por ejemplo, si la construcción se aplica a los olvidadizos${\displaystyle \pi$ :{\textrm {QCoh}}\to {\textrm {Sch}}} , entonces obtenemos el mapa${\displaystyle X\mapsto {\textrm {QCoh}}(X)}$que envía un plan${\displaystyle X}$a la categoría de haces cuasi-coherentes en${\displaystyle X}$. En cambio,${\displaystyle \pi }$está determinado por dicho mapa.

^{El teorema de} enderezamiento de Lurie generaliza la equivalencia anterior a la equivalencia entre la ∞-categoría de fibraciones cartesianas sobre alguna ∞-categoría C y la ∞-categoría de ∞-preapilamientos en C. ^{[ 9} ]

• categoría de fibras

• Khan, Adeel A. (2022). "Una introducción moderna a las pilas algebraicas" .
• "Kerodon" .
• Mazel-Gee, Aaron (2015). "Guía del usuario para fibraciones co/cartesianas". arXiv : 1510.02402 [ math.CT ].
• Vistoli, Angelo (2 de septiembre de 2008). "Notas sobre topologías de Grothendieck, categorías fibradas y teoría del descenso" (PDF) .

• https://ncatlab.org/nlab/show/Cartesian+fibration
• https://ncatlab.org/nlab/show/Cartesian+morphism
• https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+fibration