Dualidad de Cartier

En matemáticas, la dualidad de Cartier es un análogo de la dualidad de Pontryagin para esquemas de grupos conmutativos . Fue introducida por Pierre Cartier ( 1962 ) . 

Dado cualquier esquema de grupo conmutativo plano finito G sobre un esquema S , su dual de Cartier es el grupo de caracteres, definido como el functor que transforma cualquier esquema S T en el grupo abeliano de homomorfismos de esquemas de grupo a partir del cambio de base.${\displaystyle G_{T}}$a${\displaystyle \mathbf {G'} _{m,T}}$y cualquier aplicación de esquemas S al mapa canónico de grupos de caracteres. Este functor es representable por un esquema de grupo S plano finito, y la dualidad de Cartier forma una antiequivalencia involutiva aditiva de la categoría de esquemas de grupo S conmutativos planos finitos a sí misma. Si G es un esquema de grupo conmutativo constante, entonces su dual de Cartier es el grupo diagonalizable D ( G ), y viceversa. Si S es afín, entonces el functor de dualidad viene dado por la dualidad de las álgebras de Hopf de funciones.

Un esquema de grupo conmutativo finito sobre un cuerpo corresponde a un álgebra de Hopf conmutativa y cocommutativa de dimensión finita . La dualidad de Cartier corresponde a tomar el dual del álgebra de Hopf, intercambiando la multiplicación y la comultiplicación.

La definición de dual de Cartier se extiende útilmente a situaciones mucho más generales donde el functor resultante en esquemas ya no se representa como un esquema de grupo. Los casos comunes incluyen haces fppf de grupos conmutativos sobre S y complejos de los mismos. Estos objetos geométricos más generales pueden ser útiles cuando se quiere trabajar con categorías que tienen un buen comportamiento límite. Hay casos de abstracción intermedia, como grupos algebraicos conmutativos sobre un cuerpo, donde la dualidad de Cartier da una antiequivalencia con grupos formales afines conmutativos , de modo que si G es el grupo aditivo${\displaystyle \mathbf {G'} _{a}}$, entonces su dual de Cartier es el grupo formal multiplicativo${\displaystyle {\widehat {\mathbf {G} }}_{m}}$y si G es un toro, entonces su dual de Cartier es étale y libre de torsión. Para grupos de lazos de toros, la dualidad de Cartier define el símbolo manso en la teoría de campos de clases geométricas locales . Gérard Laumon introdujo una transformada de Fourier teórica de haces para módulos cuasi-coherentes sobre 1-motivos que se especializa en muchas de estas equivalencias. ^{[ 1 ]}

• El Cartier dual del grupo cíclico${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$de orden n son las raíces n -ésimas de la unidad${\displaystyle \mu _{n}}$.
• Sobre un campo de característica p el esquema de grupo${\displaystyle \alpha _{p}}$(el núcleo del endomorfismo del grupo aditivo inducido al tomar potencias p -ésimas) es su propio dual de Cartier.

• Cartier, Pierre (1962), "Groupes algébriques et groupes formels", 1962 Colloq. Théorie des Groupes Algébriques (Bruxelles, 1962) , Librairie Universitaire, Lovaina, París: GauthierVillars, págs. 87-111 , MR 0148665  
• Oort, Frans (1966), Esquemas de grupos conmutativos , Lecture Notes in Mathematics, vol.  15, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, MR 0213365