isomorfismo de Cartier

En geometría algebraica , el isomorfismo de Cartier es un isomorfismo entre los haces de cohomología del complejo de De Rham de una variedad algebraica lisa sobre un cuerpo de característica positiva y los haces de formas diferenciales en la torsión de Frobenius de la variedad. Recibe su nombre de Pierre Cartier . Intuitivamente, muestra que la cohomología de De Rham en característica positiva es un objeto mucho más grande de lo que cabría esperar. Desempeña un papel importante en el enfoque de Deligne e Illusie sobre la degeneración de la sucesión espectral de Hodge-de Rham . ^{[ 1 ]}

Sea k un cuerpo de característica p > 0, y sea${\textstyle f:X\to S}$Sea un morfismo de k -esquemas .${\displaystyle X^{(p)}=X\times _{S,\varphi }S}$denotemos la torsión de Frobenius y dejemos${\displaystyle F:X\to X^{(p)}}$sea ​​el Frobenius relativo . El mapa de Cartier se define como el morfismo único.$${\displaystyle C^{-1}:\bigoplus _{i\geq 0}\Omega _{X^{(p)}/S}^{i}\to \bigoplus _{i\geq 0}{\mathcal {H}}^{i}(F_{*}\Omega _{X/S}^{\bullet })}$$de grado${\textstyle {\mathcal {O}}_{X^{(p)}}}$-álgebras tales que${\displaystyle C^{-1}(d(x\otimes 1))=[x^{p-1}dx]}$para cualquier sección local x de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$. (Aquí, para que el mapa de Cartier esté bien definido en general, es esencial tomar haces de cohomología para el codominio.) El isomorfismo de Cartier es entonces la afirmación de que el mapa${\displaystyle C^{-1}}$es un isomorfismo si${\displaystyle f}$es un morfismo suave .

En lo anterior, hemos formulado el isomorfismo de Cartier en la forma en que se encuentra más comúnmente (por ejemplo, en el artículo de Katz de 1970 ). ^{[ 2 ]} En su artículo original, Cartier consideró el mapa inverso en un contexto más restrictivo, de donde proviene la notación${\displaystyle C^{-1}}$para el mapa de Cartier. ^{[ 3 ]}

La suposición de suavidad no es esencial para que el mapa de Cartier sea un isomorfismo. Por ejemplo, se cumple para morfismos ind-suaves, ya que ambos lados del mapa de Cartier conmutan con colímites filtrados . Por el teorema de Popescu , se obtiene entonces el isomorfismo de Cartier para un morfismo regular de k- esquemas noetherianos . ^{[ 4 ]} Ofer Gabber también ha demostrado un isomorfismo de Cartier para anillos de valuación . ^{[ 5 ]} En otra dirección, se pueden prescindir por completo de tales suposiciones si en su lugar se trabaja con la cohomología de de Rham derivada (ahora tomando el graduado asociado de la filtración conjugada) y las potencias exteriores del complejo cotangente . ^{[ 6 ]}