Algoritmo en cascada

En el ámbito matemático de la teoría de ondículas , el algoritmo en cascada es un método numérico para calcular los valores de las funciones de escala y ondícula básicas de una transformada discreta de ondículas mediante un algoritmo iterativo. Parte de los valores de una secuencia gruesa de puntos de muestreo y genera valores para secuencias de puntos de muestreo sucesivamente más densas. Debido a que aplica la misma operación repetidamente al resultado de la aplicación anterior, se le conoce como algoritmo en cascada .

El algoritmo iterativo genera aproximaciones sucesivas de ψ( t ) o φ( t ) a partir de los coeficientes de filtro { h } y { g }. Si el algoritmo converge a un punto fijo, dicho punto fijo es la función de escala básica o la ondícula.

Las iteraciones se definen por

${\displaystyle \varphi ^{(k+1)}(t)=\sum _ {n=0}^{N-1}h[n]{\sqrt {2}}\varphi ^{(k)}(2t-n)}$

Para la k -ésima iteración, donde se debe dar un φ ⁽⁰⁾ ( t ) inicial.

Las estimaciones en el dominio de la frecuencia de la función de escala básica vienen dadas por

${\displaystyle \Phi ^{(k+1)}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}H\left({\frac {\omega }{2}}\right)\Phi ^{(k)}\left({\frac {\omega }{2}}\right)}$

y el límite puede verse como un producto infinito de la forma

${\displaystyle \Phi ^{(\infty )}(\omega )=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2}}}H\left({\frac {\omega }{2^{k}}}\right)\Phi ^{(\infty )}(0).}$

Si existe tal límite, el espectro de la función de escala es

${\displaystyle \Phi (\omega )=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2}}}H\left({\frac {\omega }{2^{k}}}\right)\Phi ^{(\infty )}(0)}$

El límite no depende de la forma inicial asumida para φ ⁽⁰⁾ ( t ). Este algoritmo converge de forma fiable a φ( t ), incluso si es discontinuo.

A partir de esta función de escala, se puede generar la ondícula a partir de

${\displaystyle \psi (t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]{\sqrt {2}}\varphi ^{(k)}(2t-n).}$

También se pueden obtener aproximaciones sucesivas en el dominio de la frecuencia.

• CS Burrus , RA Gopinath, H. Guo, Introducción a las ondículas y las transformadas de ondículas: una introducción , Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9.
• http://cnx.org/content/m10486/latest/
• http://plan9.bell-labs.co/who/wim/cascade/ Archivado el 15 de junio de 2007 en Wayback Machine