Elemento Casimir

Supongamos que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un${\displaystyle n}$Álgebra de Lie de dimensión . Sea B una forma bilineal no degenerada en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$que es invariante bajo la acción adjunta de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en sí mismo, lo que significa que${\displaystyle B(\operatorname {ad} _{X}Y,Z)+B(Y,\operatorname {ad} _{X}Z)=0}$para todos los X , Y , Z en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. (La opción más típica de B es la forma de asesinato si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es semisimple .) Sea

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$

ser cualquier base de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, y

${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$

ser la base dual de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con respecto a B. El elemento de Casimir${\displaystyle \Omega }$porque B es el elemento del álgebra envolvente universal${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$dado por la fórmula

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}$

Aunque la definición se basa en la elección de una base para el álgebra de Lie, es fácil demostrar que Ω es independiente de esta elección. Por otro lado, Ω sí depende de la forma bilineal B. La invariancia de B implica que el elemento de Casimir conmuta con todos los elementos del álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y, por lo tanto, se encuentra en el centro del álgebra envolvente universal.${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$. ^{[ 2 ]}

Dada una representación ρ de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$En un espacio vectorial V , posiblemente de dimensión infinita, el invariante de Casimir de ρ se define como ρ (Ω), el operador lineal en V dado por la fórmula

${\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}$

Una forma específica de esta construcción juega un papel importante en la geometría diferencial y el análisis global. Supongamos que un grupo de Lie conexo G con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$actúa sobre una variedad diferenciable M. Consideremos la representación correspondiente ρ de G en el espacio de funciones suaves en M. Entonces, los elementos de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$están representados por operadores diferenciales de primer orden en M. En esta situación, el invariante de Casimir de ρ es el operador diferencial de segundo orden G-invariante en M definido por la fórmula anterior.

Especializando aún más, si sucede que M tiene una métrica riemanniana sobre la cual G actúa transitivamente por isometrías, y el subgrupo estabilizador G _x de un punto actúa irreduciblemente sobre el espacio tangente de M en x , entonces el invariante de Casimir de ρ es un múltiplo escalar del operador laplaciano proveniente de la métrica.

También se pueden definir invariantes de Casimir más generales, que aparecen comúnmente en el estudio de operadores pseudodiferenciales en la teoría de Fredholm .

El artículo sobre álgebras envolventes universales ofrece una definición detallada y precisa de los operadores de Casimir, así como una exposición de algunas de sus propiedades. Todos los operadores de Casimir corresponden a polinomios homogéneos simétricos en el álgebra simétrica de la representación adjunta.${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}.}$:

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k}}$

donde m es el orden del tensor simétrico${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$y el${\displaystyle X_{i}}$formar una base de espacio vectorial de${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$Esto corresponde a un polinomio homogéneo simétrico.

${\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}$

en m variables indeterminadas${\displaystyle t_{i}}$en el álgebra polinómica${\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]}$sobre un cuerpo K. La razón de la simetría se deriva del teorema PBW y se analiza con mucho más detalle en el artículo sobre álgebras envolventes universales .

Además, un elemento de Casimir debe pertenecer al centro del álgebra envolvente universal, es decir, debe obedecer

${\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0}$

para todos los elementos básicos${\displaystyle X_{i}.}$ En términos del tensor simétrico correspondiente${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$Esta condición es equivalente a que el tensor sea invariante:

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

dónde${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}}$son las constantes de estructura del álgebra de Lie, es decir${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}}$.

Dado que para un álgebra de Lie simple toda forma bilineal invariante es un múltiplo de la forma de Killing , el elemento de Casimir correspondiente está definido de forma única salvo una constante. Para un álgebra de Lie semisimple general, el espacio de formas bilineales invariantes tiene un vector base para cada componente simple, y por lo tanto, lo mismo ocurre con el espacio de operadores de Casimir correspondientes.

Si${\displaystyle G}$es un grupo de Lie compacto con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, la elección de una forma bilineal invariante no degenerada en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$corresponde a una elección de métrica riemanniana bi-invariante en${\displaystyle G}$. Luego, bajo la identificación del álgebra envolvente universal de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con los operadores diferenciales invariantes de la izquierda en${\displaystyle G}$, el elemento de Casimir de la forma bilineal en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$mapas al laplaciano de${\displaystyle G}$(con respecto a la métrica bi-invariante correspondiente).

Según el teorema de Racah , ^{[ 3 ]} para un álgebra de Lie semisimple la dimensión del centro de su álgebra envolvente universal es igual a su rango . El operador de Casimir da el concepto de laplaciano en un grupo de Lie semisimple general ; pero no hay un análogo único del laplaciano para rango > 1.

Por definición, cualquier miembro del centro del álgebra envolvente universal conmuta con todos los demás elementos del álgebra. Según el lema de Schur , en cualquier representación irreducible del álgebra de Lie, cualquier elemento de Casimir es proporcional a la identidad. Los autovalores de todos los elementos de Casimir pueden utilizarse para clasificar las representaciones del álgebra de Lie (y, por lo tanto, también de su grupo de Lie ). ^{[ 4 ]}

La masa física y el espín son ejemplos de estos autovalores, al igual que muchos otros números cuánticos que se encuentran en la mecánica cuántica . Superficialmente, los números cuánticos topológicos forman una excepción a este patrón; aunque teorías más profundas sugieren que son dos facetas del mismo fenómeno .

Dejar${\displaystyle L(\lambda )}$sea ​​el módulo de peso máximo de dimensión finita de peso${\displaystyle \lambda }$. Luego, el elemento cuadrático de Casimir${\displaystyle \Omega }$actúa en${\displaystyle L(\lambda )}$por la constante

${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}$

dónde${\displaystyle \rho }$es el peso definido por la mitad de la suma de las raíces positivas. ^{[ 5 ]} Si${\displaystyle L(\lambda )}$no es trivial (es decir, si${\displaystyle \lambda \neq 0}$), entonces esta constante es distinta de cero. Después de todo, dado que${\displaystyle \lambda }$es dominante, si${\displaystyle \lambda \neq 0}$, entonces${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}$y${\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}$, demostrando que${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}$Esta observación desempeña un papel importante en la demostración del teorema de Weyl sobre la reducibilidad completa . También es posible demostrar que el autovalor no se anula de una manera más abstracta —sin utilizar una fórmula explícita para el autovalor— mediante el criterio de Cartan ; véanse las secciones 4.3 y 6.2 del libro de Humphreys.

Los tensores invariantes simétricos pueden construirse como trazas simetrizadas en la representación definitoria ^{[ 6 ].}

${\displaystyle k_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}={\text{Tr}}\left(X_{(i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m})}\right)}$

donde los índices se elevan y se bajan mediante la forma de Killing y se simetrizan bajo todas las permutaciones.

También es posible construir tensores invariantes simétricos a partir de los tensores invariantes antisimétricos del tipo

${\displaystyle \Omega _{i_{1}i_{2}\cdots i_{2m-1}}^{(2m-1)}=f_{i_{1}[i_{2}}^{j_{1}}\cdots f_{i_{2m-3}i_{2m-2}]}^{j_{m-1}}k_{j_{1}\cdots j_{m-1}i_{2m-1}}^{(m)}}$

El tensor invariante simétrico ^{[ 7 ]}

${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}=\Omega _{j_{1}j_{2}\cdots j_{2m-2}i_{m}}^{(2m-1)}f_{i_{1}}^{j_{1}j_{2}}\cdots f_{i_{m-1}}^{j_{2m-2}j_{2m-3}}}$

es sin dejar rastro para${\displaystyle m>2}$. Dichos tensores invariantes son ortogonales entre sí en el sentido de que${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}\left(t^{(n)}\right)^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}i_{m+1}\cdots i_{n}}=0}$si${\displaystyle n>m}$.

En el caso del álgebra de Lie simple${\displaystyle A_{l}={\mathfrak {sl}}_{l+1}}$Introduzcamos ahora el tensor totalmente simétrico de orden tres.${\displaystyle d_{ijk}}$de tal manera que, en la representación definitoria,

${\displaystyle X_{i}X_{j}={\frac {2}{\ell +1}}\delta _{ij}+f_{ij}^{k}X_{k}+d_{ij}^{k}X_{k}}$

Entonces, los tensores invariantes simétricos de Sudbery son ^{[ 6 ].}

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}}^{(2)}=\delta _{i_{1}i_{2}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}}^{(3)}=d_{i_{1}i_{2}i_{3}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d_{i_{3}i_{4})j}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d^{j}{}_{i_{3}}{}^{k}d_{i_{4}i_{5})k}}$

Para un álgebra de Lie simple de rango${\displaystyle r}$, hay${\displaystyle r}$tensores invariantes simétricos algebraicamente independientes . Por lo tanto, cualquier tensor de este tipo puede expresarse en términos de${\displaystyle r}$tensores dados. Existe un método sistemático para derivar conjuntos completos de identidades entre tensores invariantes simétricos. ^{[ 6 ]}

En el caso del álgebra de Lie${\displaystyle A_{l}}$, los tensores invariantes simétricos${\displaystyle t^{(m)}}$cumplir${\displaystyle t^{(m>l+1)}=0}$. ^{[ 7 ]} Reexpresar estos tensores en términos de otras familias como${\displaystyle d^{(m)}}$o${\displaystyle k^{(m)}}$da lugar a relaciones no triviales dentro de estas otras familias. Por ejemplo, los tensores de Sudbery.${\displaystyle d^{(m>l+1)}}$puede expresarse en términos de${\displaystyle d^{(2)},\cdots ,d^{(l+1)}}$, con relaciones del tipo ^{[ 7 ]}

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}\delta _{(i_{1}i_{2}}\delta _{i_{3}i_{4})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=3}{=}}\ {\frac {2}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

Las constantes de estructura también obedecen identidades que no están directamente relacionadas con tensores invariantes simétricos, por ejemplo ^{[ 8 ].}

${\displaystyle 3d_{ab}{}^{e}d_{cde}-f_{ac}{}^{e}f_{bde}-f_{ad}{}^{e}f_{bce}\ {\underset {l=2}{=}}\ \delta _{ac}\delta _{bd}+\delta _{ad}\delta _{bc}-\delta _{ab}\delta _{cd}}$

El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$consta de matrices complejas de dos por dos con traza cero. Hay tres elementos base estándar ,${\displaystyle e}$,${\displaystyle f}$, y${\displaystyle h}$, con

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},&f&={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},&h&={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Los conmutadores son

${\displaystyle {\begin{aligned}[][e,f]&=h,&[h,f]&=-2f,&[h,e]&=2e.\end{aligned}}}$

Se puede demostrar que el elemento Casimir es

$${\displaystyle \Omega =ef+fe+{\frac {1}{2}}h^{2}={\frac {1}{2}}h^{2}+h+2fe.}$$

Esta expresión reside en el álgebra envolvente universal.${\displaystyle U({\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} ))}$, no el álgebra de${\displaystyle 2\times 2}$matrices, por lo que se debe tener cuidado de no conectar lo anterior${\displaystyle 2\times 2}$Sustituya las matrices en esta fórmula y utilice la multiplicación de matrices para simplificarla.

Como ejemplo de cómo actúa el elemento de Casimir sobre una representación, consideremos la representación adjunta de${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$sobre sí mismo. Utilizando la base ordenada${\displaystyle (e,h,f)}$para${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$, podemos expresar la acción adjunta de cualquier elemento como una${\displaystyle 3\times 3}$matriz. En particular:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Ad}}_{e}&={\begin{bmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{bmatrix}},&{\mathsf {Ad}}_{f}&={\begin{bmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\\\end{bmatrix}},&{\mathsf {Ad}}_{h}&={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

El elemento de Casimir actúa entonces sobre esta representación mediante la matriz.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Ad}}_{\Omega }&={\mathsf {Ad}}_{e}{\mathsf {Ad}}_{f}+{\mathsf {Ad}}_{f}{\mathsf {Ad}}_{e}+{\frac {1}{2}}{\mathsf {Ad}}_{h}^{2}\\&={\begin{bmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}^{2}\\&={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$es el álgebra de Lie de SO(3) , el grupo de rotación para el espacio euclidiano tridimensional . Es simple de rango 1, por lo que tiene un único invariante de Casimir independiente. La forma de Killing para el grupo de rotación es simplemente la delta de Kronecker , por lo que el invariante de Casimir es simplemente la suma de los cuadrados de los generadores.${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}$del álgebra. Es decir, el invariante de Casimir viene dado por

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$

Consideremos la representación irreducible de${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$en el que el mayor valor propio de${\displaystyle L_{z}}$es${\displaystyle \ell }$, donde los posibles valores de${\displaystyle \ell }$son${\textstyle 0,\,{\frac {1}{2}},\,1,\,{\frac {3}{2}},\,\ldots }$La invariancia del operador de Casimir implica que es un múltiplo del operador identidad.${\displaystyle I}$. Esta constante se puede calcular explícitamente, dando el siguiente resultado ^{[ 9 ]}

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}$

En mecánica cuántica , el valor escalar${\displaystyle \ell }$se denomina momento angular total . Para representaciones matriciales de dimensión finita del grupo de rotación,${\displaystyle \ell }$siempre toma valores enteros (para representaciones bosónicas ) o valores semi-enteros (para representaciones fermiónicas ).

Para un valor dado de${\displaystyle \ell }$, la representación matricial es${\displaystyle (2\ell +1)}$-dimensional. Así, por ejemplo, la representación tridimensional para${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$corresponde a${\displaystyle \ell =1}$y viene dado por los generadores

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};&L_{y}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};&L_{z}&=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

donde los factores de${\displaystyle i}$son necesarios para estar de acuerdo con la convención física (utilizada aquí) de que los generadores deben ser operadores autoadjuntos asimétricos. ^{[ 10 ]}

El invariante de Casimir cuadrático se puede calcular fácilmente a mano, con el resultado de que

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

como${\displaystyle \ell (\ell +1)=2}$cuando${\displaystyle \ell =1}$.

Esto es lo que queremos decir cuando afirmamos que los autovalores del operador de Casimir se utilizan para clasificar las representaciones irreducibles de un álgebra de Lie (y de un grupo de Lie asociado): dos representaciones irreducibles de un álgebra de Lie son equivalentes si y solo si su elemento de Casimir tiene el mismo autovalor. En este caso, las representaciones irreducibles de${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$están completamente determinados por el valor de${\displaystyle \ell }$, o equivalentemente, por el valor de${\displaystyle \ell (\ell +1)}$. De manera similar, la representación bidimensional tiene una base dada por las matrices de Pauli , que corresponden a espín 1/2 , y se puede verificar nuevamente la fórmula para el Casimir mediante cálculo directo.