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Cassini y las identidades catalanas

La identidad de Cassini (a veces llamada identidad de Simson ), la identidad de Catalan y la identidad de Vajda son identidades matemáticas para los números de Fibonacci . La id...

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La identidad de Cassini (a veces llamada identidad de Simson ), la identidad de Catalan y la identidad de Vajda son identidades matemáticas para los números de Fibonacci . La identidad de Cassini, un caso especial de las otras dos, establece que para el n -ésimo número de Fibonacci,

Fnorte−1Fnorte+1−Fnorte2=(−1)norte.{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.}

Nota aquíF0{\displaystyle F_{0}}se toma como 0, yF1{\displaystyle F_{1}}se toma como 1.

La identidad catalana generaliza esto para permitirr≠1{\displaystyle r\neq 1}:

Fnorte2−Fnorte−rFnorte+r=(−1)norte−rFr2.{\displaystyle F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2}.}

La identidad de Vajda generaliza aún más esto para permitirmetro≠norte{\displaystyle m\neq n}:

FmetroFnorte−Fmetro−rFnorte+r=(−1)metro−rFrFr+norte−metro,{\displaystyle F_{m}F_{n}-F_{mr}F_{n+r}=\left({-1}\right)^{mr}F_{r}F_{r+nm},}

También se escribe como:

Fnorte+iFnorte+j−FnorteFnorte+i+j=(−1)norteFiFj.{\displaystyle F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.}

Historia

La fórmula de Cassini fue descubierta en 1680 por Giovanni Domenico Cassini , entonces director del Observatorio de París , y probada independientemente por Robert Simson (1753). [ 1 ] Sin embargo, presumiblemente Johannes Kepler ya conocía su identidad en 1608. [ 2 ]

La identidad de Catalan recibe su nombre de Eugène Catalan (1814-1894). Se puede encontrar en una de sus notas de investigación privadas, titulada "Sur la série de Lamé" y fechada en octubre de 1879. Sin embargo, la identidad no se publicó hasta diciembre de 1886 como parte de sus obras completas ( Catalan 1886 ) . Esto explica por qué algunos dan 1879 y otros 1886 como fecha de la identidad de Catalan ( Tuenter 2022 , p. 314) . 

El matemático húngaro-británico Steven Vajda (1901-1995) publicó un libro sobre los números de Fibonacci ( Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications , 1989) que contiene la identidad que lleva su nombre. [ 3 ] [ 4 ] Sin embargo, la identidad había sido publicada anteriormente en 1960 por Dustan Everman como el problema 1396 en The American Mathematical Monthly , [ 1 ] y en 1901 por Alberto Tagiuri en Periodico di Matematica . [ 5 ]

Prueba de la identidad de Cassini

Demostración mediante la teoría de matrices.

Una prueba rápida de la identidad de Cassini puede darse ( Knuth 1997 , p. 81) al reconocer el lado izquierdo de la ecuación como el determinante de una matriz de 2 × 2 de números de Fibonacci. El resultado es casi inmediato cuando se observa que la matriz es la enésima potencia de una matriz con determinante − 1: 

Fnorte−1Fnorte+1−Fnorte2=det[Fnorte+1FnorteFnorteFnorte−1]=det[1110]norte=(det[1110])norte=(−1)norte.{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.}

Demostración por inducción

Consideremos la proposición de inducción:

Fnorte−1Fnorte+1−Fnorte2=(−1)norte{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}}

El caso basenorte=1{\displaystyle n=1}Es cierto.

Supongamos que la afirmación es verdadera paranorte{\displaystyle n}. Entonces:

Fnorte−1Fnorte+1−Fnorte2+FnorteFnorte+1−FnorteFnorte+1=(−1)norte{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}}
Fnorte−1Fnorte+1+FnorteFnorte+1−Fnorte2−FnorteFnorte+1=(−1)norte{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}^{2}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}}
Fnorte+1(Fnorte−1+Fnorte)−Fnorte(Fnorte+Fnorte+1)=(−1)norte{\displaystyle F_{n+1}(F_{n-1}+F_{n})-F_{n}(F_{n}+F_{n+1})=(-1)^{n}}
Fnorte+12−FnorteFnorte+2=(−1)norte{\displaystyle F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}}
FnorteFnorte+2−Fnorte+12=(−1)norte+1{\displaystyle F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}}

Por lo tanto, la afirmación es verdadera para todos los números enteros.norte>0{\displaystyle n>0}.

Prueba de identidad catalana

Utilizamos la fórmula de Binet , queFnorte=ϕnorte−ψnorte5{\displaystyle F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}, dóndeϕ=1+52{\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}yψ=1−52{\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}.

Por eso,ϕ+ψ=1{\displaystyle \phi +\psi =1}yϕψ=−1{\displaystyle \phi \psi =-1}.

Entonces,

5(Fnorte2−Fnorte−rFnorte+r){\displaystyle 5(F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r})}
=(ϕnorte−ψnorte)2−(ϕnorte−r−ψnorte−r)(ϕnorte+r−ψnorte+r){\displaystyle =(\phi ^{n}-\psi ^{n})^{2}-(\phi ^{n-r}-\psi ^{n-r})(\phi ^{n+r}-\psi ^{n+r})}
=(ϕ2norte−2ϕnorteψnorte+ψ2norte)−(ϕ2norte−ϕnorteψnorte(ϕ−rψr+ϕrψ−r)+ψ2norte){\displaystyle =(\phi ^{2n}-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\psi ^{2n})-(\phi ^{2n}-\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})+\psi ^{2n})}
=−2ϕnorteψnorte+ϕnorteψnorte(ϕ−rψr+ϕrψ−r){\displaystyle =-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}

Usandoϕψ=−1{\displaystyle \phi \psi =-1},

=−(−1)norte2+(−1)norte(ϕ−rψr+ϕrψ−r){\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}

y de nuevo comoϕ=−1ψ{\displaystyle \phi ={\frac {-1}{\psi }}},

=−(−1)norte2+(−1)norte−r(ψ2r+ϕ2r){\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(\psi ^{2r}+\phi ^{2r})}

El número de LucasLnorte{\displaystyle L_{n}}se define comoLnorte=ϕnorte+ψnorte{\displaystyle L_{n}=\phi ^{n}+\psi ^{n}}, entonces

=−(−1)norte2+(−1)norte−rL2r{\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}L_{2r}}

PorqueL2norte=5Fnorte2+2(−1)norte{\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}}

=−(−1)norte2+(−1)norte−r(5Fr2+2(−1)r){\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(5F_{r}^{2}+2(-1)^{r})}
=−(−1)norte2+(−1)norte−r2(−1)r+(−1)norte−r5Fr2{\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}2(-1)^{r}+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}
=−(−1)norte2+(−1)norte2+(−1)norte−r5Fr2{\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}
=(−1)norte−r5Fr2{\displaystyle =(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}

Cancelar el5{\displaystyle 5}'s da el resultado.

Notas

  1. 1 2 Koshy, Thomas (2001). Números de Fibonacci y Lucas con aplicaciones . Wiley. págs. 74–75 , 83, 88. ISBN  978-111-803131-5.
  2. ↑ Miodrag Petkovic: Famosos enigmas de grandes matemáticos . AMS, 2009, ISBN 9780821848142, págs. 30-31
  3. ↑ West, Douglas B. (2020). Matemáticas combinatorias . Cambridge University Press. pág. 61. ISBN  1-107-05858-9.
  4. ↑ Vajda, Steven (2008) [1989 en Ellis Horwood]. Números de Fibonacci y Lucas, y la sección áurea: teoría y aplicaciones . Dover. pág. 28. ISBN  978-04-8646276-9.
  5. ↑ Alberto Tagiuri: Ecuación (3) en Di alcune sucesioni ricorrenti a termini interi e positivi , Periodico di Matematica 16 (1901), págs.

Referencias

  • Catalán, Eugène-Charles (diciembre de 1886). "CLXXXIX. — Sur la serie de Lamé". Mémoires de la Société Royale des Sciences de Liège . Segunda serie. 13 : 319–321 .
  • Knuth, Donald Ervin (1997), El arte de la programación informática, Volumen 1: Algoritmos fundamentales , El arte de la programación informática , vol.  1 (3.ª  ed.), Reading, Mass: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4
  • Simson, R. (1753). "Una explicación de un pasaje oscuro en el comentario de Albert Girard sobre las obras de Simon Stevin" . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 48 : 368–376 . doi : 10.1098/rstl.1753.0056 .
  • Tuenter, Hans JH (noviembre de 2022). " Identidades de suma de Fibonacci que surgen de la identidad catalana". The Fibonacci Quarterly . 60 (4): 312– 319. doi : 10.1080/00150517.2022.12427460 . MR 4539699. Zbl 1512.11025 .  
  • Werman, M.; Zeilberger, D. (1986). "Una demostración biyectiva de la identidad de Fibonacci de Cassini" . Matemáticas Discretas . 58 (1): 109. doi : 10.1016/0012-365X(86)90194-9 . MR 0820846 . 
  • Prueba de la identidad de Cassini
  • Prueba de la identidad catalana
  • La identidad catalana
  • Fórmula de Cassini para los números de Fibonacci
  • Fórmulas de Fibonacci y Phi