función beta de Dirichlet

En matemáticas , la función beta de Dirichlet (también conocida como función beta de Catalan ) es una función especial , estrechamente relacionada con la función zeta de Riemann . Es una función L de Dirichlet particular , la función L para el carácter alternante de periodo cuatro.

Definición

La función beta de Dirichlet se define como

\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},

o, equivalentemente,

\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.

En cada caso, se supone que Re( s ) > 0.

Alternativamente, la siguiente definición, en términos de la función zeta de Hurwitz , es válida en todo el plano complejo s : ^{[ 1 ]}

\beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).

Otra definición equivalente, en términos del trascendente de Lerch , es:

\beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),

lo cual es válido una vez más para todos los valores complejos de s .

La función beta de Dirichlet también se puede escribir en términos de la función polilogaritmo :

\beta (s)={\frac {i}{2}}\left({\text{Li}}_{s}(-i)-{\text{Li}}_{s}(i)\right).

Además, la representación en serie de la función beta de Dirichlet se puede formar en términos de la función poligamma.

\beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-4)^{s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right]

pero esta fórmula solo es válida para valores enteros positivos de $s$ .

Fórmula del producto de Euler

También es el ejemplo más simple de una serie no directamente relacionada con $\zeta (s)$ que también puede factorizarse como un producto de Euler , lo que lleva a la idea del carácter de Dirichlet que define el conjunto exacto de series de Dirichlet que tienen una factorización sobre los números primos .

Al menos para Re( s ) ≥ 1:

\beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}

donde $p \equiv1 mod 4$ son los primos de la forma $4 n +1$ (5,13,17,...) y $p \equiv3 mod 4$ son los primos de la forma $4 n +3$ (3,7,11,...). Esto se puede escribir de forma compacta como

\beta (s)=\prod _{p>2 \atop p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\,\scriptstyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}\textstyle p^{-s}}}.

Ecuación funcional

La ecuación funcional extiende la función beta al lado izquierdo del plano complejo Re( s ) ≤ 0. Está dada por

\beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)

dónde $\Gamma (s)$ es la función gamma . Fue conjeturada por Euler en 1749 y demostrada por Malmsten en 1842. ^{[ 2 ]}

Valores específicos

números enteros positivos

Para cada entero positivo impar $2n+1$ , se cumple la siguiente ecuación: ^{[ 3 ]}

\beta (2n+1)\;=\;{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{2(2n)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n+1}

dónde $E_{n}$ es el n-ésimo número de Euler . Esto produce:

\beta (1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},

\beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},

\beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},

\beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}

Para los valores de la función beta de Dirichlet en enteros positivos pares no se conoce ninguna forma cerrada elemental, y aún no se ha encontrado ningún método para determinar la naturaleza aritmética de los valores beta pares (de manera similar a la función zeta de Riemann en enteros impares mayores que 3). El número $\beta (2)=G$ se conoce como la constante de Catalan .

Se ha demostrado que existen infinitos números de la forma $\beta (2n)$ ^{[ 4 ]} y al menos uno de los números $\beta (2),\beta (4),\beta (6),...,\beta (12)$ son irracionales. ^{[ 5 ]}

Los valores beta pares pueden expresarse en términos de las funciones poligamma y los números de Bernoulli : ^{[ 6 ]}

\beta (2n)={\frac {\psi ^{(2n-1)}(1/4)}{4^{2n-1}(2n)!}}n-{\frac {\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{2(2n)!}}

También podemos expresar la función beta para valores positivos. $n$ en términos de la integral tangente inversa :

\beta (n)={\text{Ti}}_{n}(1)

\beta (1)=\arctan(1)

Para cada entero positivo k :

\beta (2k)={\frac {1}{2(2k-1)!}}\sum _{m=0}^{\infty }\left(\left(\sum _{l=0}^{k-1}{\binom {2k-1}{2l}}{\frac {(-1)^{l}A_{2k-2l-1}}{2l+2m+1}}\right)-{\frac {(-1)^{k-1}}{2m+2k}}\right){\frac {A_{2m}}{(2m)!}}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}^{2m+2k},

dónde $A_{k}$ es el número de zigzag de Euler .

Números enteros negativos

Para los enteros impares negativos, la función es cero:

\beta (-2n-1)\;=\;0

Para cada entero par negativo se cumple: ^{[ 3 ]}

\beta (-2n)\;=\;{\frac {1}{2}}E_{2n}

.

Además, es:

\beta (0)\;=\;{\frac {1}{2}}

.

Derivado

Tenemos: ^{[ 3 ]}

$\beta '(-1)={\frac {2G}{\pi }}$

$\beta '(0)=2\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})-\ln \pi -{\tfrac {3}{2}}\ln 2=\ln {\tfrac {\varpi }{\sqrt {\pi }}}$

$\beta '(1)={\tfrac {\pi }{4}}(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}}))={\tfrac {\pi }{4}}(\gamma -\ln 2+2\ln {\tfrac {\pi }{\varpi }})$

con $\gamma$ siendo la constante de Euler , $\varpi$ siendo la constante de la lemniscata y $G$ siendo la constante de Catalan . La última identidad fue derivada por Malmsten en 1842. ^{[ 2 ]}

Véase también

Referencias

↑ Relación entre la beta de Dirichlet y la zeta de Hurwitz , Matemáticas para la Ingeniería
1 2 Blagouchine, Iaroslav V. (2014-10-01). "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contorno y algunos resultados relacionados" . The Ramanujan Journal . 35 (1): 21– 110. doi : 10.1007/s11139-013-9528-5 . ISSN 1572-9303 .
1 2 3 Weisstein, Eric W. "Función beta de Dirichlet" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de agosto de 2024 .
^ Rivoal, T.; Zudilin, W. (2003). «Propiedades diofánticas de los números relacionados con la constante catalana» . Annalen Matemáticas . 326 (4): 705– 721. doi : 10.1007/s00208-003-0420-2 . hdl : 1959.13/803688 . ISSN 1432-1807 .
^ Zudilin, Wadim (2019). «Aritmética de la constante catalana y sus familiares» . Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 89 (1): 45– 53. arXiv : 1804.09922 . doi : 10.1007/s12188-019-00203-w . ISSN 0025-5858 .
↑ Kölbig, KS (1996). "La función poligamma ψ(k)(x) para x=14 y x=34" . Journal of Computational and Applied Mathematics . 75 (1): 43– 46. doi : 10.1016/S0377-0427(96)00055-6 . ISSN 0377-0427 .

Glasser, ML (1972). "La evaluación de sumas reticulares. I. Procedimientos analíticos". J. Math. Phys . 14 (3): 409. Bibcode : 1973JMP....14..409G . doi : 10.1063/1.1666331 .
J. Spanier y KB Oldham, Un atlas de funciones , (1987) Hemisphere, Nueva York.

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[:0-3] 1 2 3 Weisstein, Eric W. "Función beta de Dirichlet" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de agosto de 2024 .

[4] Rivoal, T.; Zudilin, W. (2003). «Propiedades diofánticas de los números relacionados con la constante catalana» . Annalen Matemáticas . 326 (4): 705– 721. doi : 10.1007/s00208-003-0420-2 . hdl : 1959.13/803688 . ISSN 1432-1807 .

[5] Zudilin, Wadim (2019). «Aritmética de la constante catalana y sus familiares» . Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 89 (1): 45– 53. arXiv : 1804.09922 . doi : 10.1007/s12188-019-00203-w . ISSN 0025-5858 .

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