Teoría categórica

En lógica matemática , una teoría es categórica si tiene exactamente un modelo ( salvo isomorfismo ). ^{[ a ]} Dicha teoría puede considerarse como la que define su modelo, caracterizando de manera única la estructura del modelo.

En lógica de primer orden , solo las teorías con un modelo finito pueden ser categóricas, debido al teorema ascendente de Löwenheim-Skolem . La lógica de orden superior contiene teorías categóricas con un modelo infinito . Por ejemplo, los axiomas de Peano de segundo orden son categóricos, ya que tienen un modelo único cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.${\displaystyle \mathbb {N} .}$

En la teoría de modelos , la noción de teoría categórica se refina con respecto a la cardinalidad . Una teoría es κ - categórica (o categórica en κ ) si tiene exactamente un modelo de cardinalidad κ salvo isomorfismo. El teorema de categoricidad de Morley establece que si una teoría de primer orden en un lenguaje numerable es categórica en alguna cardinalidad no numerable , entonces es categórica en todas las cardinalidades no numerables.

Saharon Shelah ( 1974 ) extendió el teorema de Morley a lenguajes no numerables: si el lenguaje tiene cardinalidad κ y una teoría es categórica en algún cardinal no numerable mayor o igual que κ, entonces es categórica en todas las cardinalidades mayores que κ .  

En 1904, Oswald Veblen definió una teoría como categórica si todos sus modelos son isomorfos.

Por el teorema ascendente de Löwenheim-Skolem , si una teoría de primer orden tiene un modelo de cardinalidad infinita${\displaystyle \kappa }$, entonces tiene un modelo de cualquier cardinalidad${\displaystyle \kappa '>\kappa }$Por lo tanto, no puede ser categórico. Esto nos lleva inmediatamente a la noción más sutil de κ -categoricidad, que pregunta: ¿para qué cardinales κ existe exactamente un modelo de cardinalidad κ de la teoría T dada salvo isomorfismo? En el lenguaje del espectro , sea${\displaystyle I(T,\kappa )}$Sea κ el número de modelos no isomorfos de T de cardinalidad , entonces T es κ -categórico si y solo si${\displaystyle I(T,\kappa )=1}$.

Según el teorema de completitud, si T no es completo, entonces no puede ser κ -categórico para ningún κ . Por consiguiente, la categoricidad solo interesa en el caso en que T sea consistente y completo.

Para el caso especial de una teoría consistente y completa T sobre un lenguaje numerable , los teoremas de Löwenheim-Skolem descendente y ascendente, más el teorema de completitud, implican que${\displaystyle I(T,\kappa )\geq 1}$para todo κ infinito .

En 1954, Jerzy Łoś observó que, si T es una teoría consistente y completa sobre un lenguaje numerable , con al menos un modelo infinito, solo podía encontrar tres maneras de que T fuera κ -categórica en algún κ : 

• T es categórica no numerable , es decir, T es κ -categórica si y solo si κ es un cardinal no numerable .
• T es contablemente categórico , es decir, T es κ -categórico si y solo si κ es un cardinal contable.
• T es totalmente categórica , es decir, T es κ -categórica para todos los cardinales infinitos κ . 

Esta observación impulsó una gran cantidad de investigaciones en la década de 1960. El teorema de categoricidad de Michael Morley (1965) confirma que estas son las únicas posibilidades:

Posteriormente, Saharon Shelah amplió y perfeccionó la teoría en la década de 1970 y más allá, lo que dio lugar a la teoría de la estabilidad y al programa más general de Shelah sobre la teoría de la clasificación .

No existen muchos ejemplos naturales de teorías que sean categóricas en algún cardinal incontable. Los ejemplos conocidos incluyen:

• Teoría de identidad pura (sin funciones, constantes, predicados distintos de "=", ni axiomas).
• El ejemplo clásico es la teoría de los cuerpos algebraicamente cerrados de una característica dada . La categoricidad no dice que todos los cuerpos algebraicamente cerrados de característica 0 tan grandes como los números complejos C sean iguales a C ; solo afirma que son isomorfos como cuerpos a C. De ello se deduce que aunque los cierres p -ádicos completos C _p son todos isomorfos como cuerpos a C , pueden (y de hecho lo hacen) tener propiedades topológicas y analíticas completamente diferentes. La teoría de los cuerpos algebraicamente cerrados de una característica dada no es categórica en ω (el cardinal infinito numerable); hay modelos de grado de trascendencia 0, 1, 2, ..., ω .
• Espacios vectoriales sobre un cuerpo numerable dado. Esto incluye grupos abelianos de exponente primo dado (esencialmente lo mismo que espacios vectoriales sobre un cuerpo finito) y grupos abelianos divisibles sin torsión (esencialmente lo mismo que espacios vectoriales sobre los racionales ).
• La teoría del conjunto de los números naturales con una función sucesora.

También existen ejemplos de teorías que son categóricas en ω pero no en cardinales no numerables. El ejemplo más sencillo es la teoría de una relación de equivalencia con exactamente dos clases de equivalencia , ambas infinitas. Otro ejemplo es la teoría de órdenes lineales densos sin extremos; Cantor demostró que cualquier orden lineal numerable de este tipo es isomorfo a los números racionales: véase el teorema de isomorfismo de Cantor .

Los matemáticos que trabajan en teoría de la clasificación organizan las teorías de primer orden según líneas divisorias . Una línea divisoria es una propiedad que poseen algunas teorías de primer orden, mientras que otras no, de modo que las teorías con diferentes propiedades de línea divisoria presentan un comportamiento estructural distinto. Las líneas divisorias suelen diseñarse para precisar de forma intuitiva "cuán complejos pueden ser los modelos de una teoría completa de primer orden". A menudo, una propiedad de línea divisoria se define de manera que poseerla convierte una teoría en "salvaje", y una teoría "mansa" es aquella que no posee ninguna de las propiedades de línea divisoria consideradas.

Para una teoría completa${\displaystyle T}$, las principales líneas divisorias utilizadas en la teoría de la categoricidad de Shelah incluyen la estabilidad , la superestabilidad, la propiedad de orden dimensional y la propiedad de orden de tipos omitidos. ^{[ 1 ]}

Una teoría completa es estable en un cardinal${\displaystyle \kappa }$si, sobre cada conjunto de parámetros de tamaño${\displaystyle \kappa }$tiene como máximo${\displaystyle \kappa }$Tipos completos. La estabilidad restringe el número de posibles extensiones de información parcial sobre un conjunto de parámetros.

Una teoría es superestable si es estable en todos los cardinales suficientemente grandes; equivalentemente, en el caso numerable, es estable en todo cardinal no numerable. La superestabilidad es una hipótesis fundamental en la teoría estructural de los modelos de teorías completas.

La propiedad de orden dimensional ( POD ) es una configuración en una teoría superestable que permite la construcción de muchos modelos no isomorfos mediante la variación de dimensiones independientes sobre una disposición bidimensional de modelos. La presencia de POD indica que la teoría posee un espectro complejo de modelos.

La propiedad de orden de tipos omitidos ( OTOP ) es otra configuración en una teoría superestable que permite codificar información de tipo orden controlando qué tipos se omiten en los modelos. Al igual que DOP, la presencia de OTOP da lugar a muchos modelos no isomorfos en cardinalidades grandes.

Una teoría completa de primer orden se denomina clasificable si es superestable, no DOP y no OTOP. La teoría de la estructura principal de Shelah puede descomponer modelos clasificables en piezas más simples. En contraste, las teorías con inestabilidad, no superestabilidad, DOP u OTOP tienen muchos modelos no isomorfos en cardinalidades suficientemente grandes, casi todos demasiado complejos para describirlos. ^{[ 1 ]}

Otras líneas divisorias son la propiedad de árbol , la propiedad de independencia , la propiedad de orden estricto (SOP), etc.

Toda teoría categórica es completa . ^{[ 2 ]} Sin embargo, lo contrario no es cierto. ^{[ 3 ]}

Cualquier teoría T categórica en algún cardinal infinito κ está muy cerca de ser completa. Más precisamente, el criterio de Łoś–Vaught establece que si una teoría satisfacible no tiene modelos finitos y es categórica en algún cardinal infinito κ al menos igual a la cardinalidad de su lenguaje, entonces la teoría es completa. La razón es que todos los modelos infinitos son equivalentes de primer orden a algún modelo de cardinal κ según el teorema de Löwenheim–Skolem , y por lo tanto son todos equivalentes ya que la teoría es categórica en κ . Por consiguiente, la teoría es completa ya que todos los modelos son equivalentes. La suposición de que la teoría no tiene modelos finitos es necesaria. ^{[ 4 ]}

• Espectro de una teoría

• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Teoría de modelos , Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas, Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
• Corcoran, John (1980), "Categoricity", History and Philosophy of Logic , 1 ( 1–2 ): 187–207 , doi : 10.1080/01445348008837010
• Hodges, Wilfrid, "Teoría de modelos de primer orden", La enciclopedia de filosofía de Stanford (edición de verano de 2005), Edward N. Zalta (ed.).
• Marker, David (2002), Teoría de modelos: Una introducción , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  217, Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98760-6, Zbl 1003.03034 
• Monk, J. Donald (1976), Lógica matemática , Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4684-9452-5 , ISBN 978-1-4684-9454-9
• Morley, Michael (1965), "Categoricity in Power", Transactions of the American Mathematical Society , 114 (2), American Mathematical Society , Vol. 114, No. 2: 514– 538, doi : 10.2307/1994188 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994188  
• Palyutin, EA (2001) [1994], "Categoricity in cardinality" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Shelah, Saharon (1974), "Categoricity of uncountable theories", Proceedings of the Tarski Symposium (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXV, Univ. of California, Berkeley, Calif., 1971) , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol.  25, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 187–203 , doi : 10.1090/pspum/025/0373874 , ISBN  9780821814253, MR 0373874 
• Shelah, Saharon (1990) [1978], Teoría de la clasificación y el número de modelos no isomorfos , Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas (2.ª  ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9(IX, 1.19, pág. 49)
• Veblen, Oswald (1904), "Un sistema de axiomas para la geometría", Transactions of the American Mathematical Society , 5 (3), American Mathematical Society, vol. 5, n.º 3: 343–384 , doi : 10.2307/1986462 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1986462