Superficie de Cauchy

En el campo matemático de la geometría lorentziana , una superficie de Cauchy , también llamada más propiamente hipersuperficie de Cauchy , es un tipo específico de subvariedad de una variedad lorentziana . En la aplicación de la geometría lorentziana a la física de la relatividad general , una superficie de Cauchy se suele interpretar como la definición de un "instante de tiempo". En las matemáticas de la relatividad general , las superficies de Cauchy proporcionan condiciones de contorno para la estructura causal en la que se pueden resolver las ecuaciones de Einstein (utilizando, por ejemplo, el formalismo ADM ).

Reciben su nombre del matemático francés Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) debido a su relevancia para el problema de Cauchy de la relatividad general.

Aunque suele expresarse en términos de relatividad general , la noción formal de superficie de Cauchy puede entenderse en términos familiares. Supongamos que los humanos pueden viajar a una velocidad máxima de 20 millas por hora. Esto impone limitaciones, para cualquier persona, sobre adónde puede llegar en un tiempo determinado. Por ejemplo, es imposible que una persona que se encuentre en México a las 3 de la tarde llegue a Libia a las 4 de la tarde; sin embargo, es posible que una persona que se encuentre en Manhattan a la 1 de la tarde llegue a Brooklyn a las 2 de la tarde, ya que las ubicaciones están separadas por diez millas. Para hablar de forma semiformal, ignoremos las zonas horarias y las dificultades de viaje, y supongamos que los viajeros son seres inmortales que han vivido para siempre.

El sistema de todas las formas posibles de rellenar los cuatro espacios en blanco en

Una persona que se encuentra en (ubicación 1) a las (hora 1) puede llegar a (ubicación 2) a las (hora 2).

define la noción de estructura causal . Una superficie de Cauchy para esta estructura causal es una colección de pares de ubicaciones y tiempos tales que, para cualquier viajero hipotético, existe exactamente un par de ubicación y tiempo en la colección para el cual el viajero estuvo en la ubicación indicada en el momento indicado.

Existen varias superficies de Cauchy poco interesantes. Por ejemplo, una superficie de Cauchy para esta estructura causal se obtiene al considerar el emparejamiento de cada ubicación con la 1 en punto (de un día específico), ya que cualquier viajero hipotético debe haber estado en una ubicación específica a esa hora; además, ningún viajero puede estar en múltiples ubicaciones simultáneamente. Por el contrario, no puede existir ninguna superficie de Cauchy para esta estructura causal que contenga tanto el par (Manhattan, 1 en punto) como (Brooklyn, 2 en punto), puesto que existen viajeros hipotéticos que podrían haber estado en Manhattan a la 1 en punto y en Brooklyn a las 2 en punto.

También hay algunas superficies de Cauchy más interesantes que son más difíciles de describir verbalmente. Se podría definir una función τ del conjunto de todas las ubicaciones al conjunto de todos los tiempos, de tal manera que el gradiente de τ sea en todas partes menor que 1/20 horas por milla. Entonces, otro ejemplo de una superficie de Cauchy viene dado por el conjunto de pares

${\displaystyle {\Big \{}{\big (}p,\tau (p){\big )}:p{\text{ una ubicación en la Tierra}}{\Big \}}.}$

La cuestión es que, para cualquier viajero hipotético, debe haber alguna ubicación p en la que el viajero estuvo en el tiempo τ ( p ) ; esto se deduce del teorema del valor intermedio . Además, es imposible que haya dos ubicaciones p y q y que haya algún viajero que esté en p en el tiempo τ ( p ) y en q en el tiempo τ ( q ) , ya que por el teorema del valor medio en algún momento habría tenido que viajar a una velocidad ⁠ dist( p , q ) / | τ ( p ) − τ ( q ) | ⁠ , que debe ser mayor que "20 millas por hora" debido a la condición de gradiente en τ : una contradicción.

Las teorías físicas de la relatividad especial y la relatividad general definen estructuras causales que, esquemáticamente, son del tipo descrito anteriormente ("un viajero puede o no alcanzar un punto espaciotemporal determinado desde otro punto espaciotemporal determinado"), con la excepción de que las ubicaciones y los tiempos no son claramente separables entre sí. Por lo tanto, también se puede hablar de superficies de Cauchy para estas estructuras causales.

Sea ( M , g ) una variedad lorentziana. Se dice que una aplicación c  : ( a , b ) → M es una curva temporal diferenciable e inextensible en ( M , g ) si:

• es diferenciable
• c' ( t ) es de tipo temporal para cada t en el intervalo ( a , b )
• c ( t ) no se aproxima a un límite cuando t aumenta a b o cuando t disminuye a a . ^{[ 1 ]}

Un subconjunto S de M se llama superficie de Cauchy si toda curva temporal diferenciable e inextensible en ( M , g ) tiene exactamente un punto de intersección con S ; si existe tal subconjunto, entonces ( M , g ) se llama globalmente hiperbólico .

Lo siguiente es automáticamente cierto para una superficie de Cauchy S :

El subconjunto S ⊂ M es topológicamente cerrado y es una subvariedad continua (e incluso Lipschitz ) incrustada de M. El flujo de cualquier campo vectorial continuo de tipo temporal define un homeomorfismo S × ℝ → M. Al considerar la restricción de la inversa a otra superficie de Cauchy, se observa que cualesquiera dos superficies de Cauchy son homeomorfas.

Es difícil decir más sobre la naturaleza de las superficies de Cauchy en general. El ejemplo de

${\displaystyle {\Big \{}(t,x,y,z):t^{2}={\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}}{\Big \}}}$

como una superficie de Cauchy para el espacio de Minkowski ℝ ^3,1 deja claro que, incluso para las variedades lorentzianas "más simples", las superficies de Cauchy pueden no ser diferenciables en todas partes (en este caso, en el origen), y que el homeomorfismo S × ℝ → M puede no ser ni siquiera un difeomorfismo C 1 . Sin embargo , ^el mismo argumento que para una superficie de Cauchy general muestra que si una superficie de Cauchy S es una subvariedad C ^{k de} M , entonces el flujo de un campo vectorial suave de tipo temporal define un difeomorfismo C ^k S × ℝ → M , y que cualesquiera dos superficies de Cauchy que sean ambas subvariedades C ^k de M serán difeomorfas C ^k .

Además, a costa de no poder considerar superficies de Cauchy arbitrarias, siempre es posible encontrar superficies de Cauchy suaves (Bernal y Sánchez 2003):

Dada cualquier variedad lorentziana suave ( M , g ) que tiene una superficie de Cauchy, existe una superficie de Cauchy S que es una subvariedad suave de tipo espacial incrustada de M y tal que S × ℝ es suavemente difeomorfa a M .

Sea ( M , g ) una variedad lorentziana orientada en el tiempo. Se dice que una aplicación c  : ( a , b ) → M es una curva causal diferenciable e inextensible en el pasado en ( M , g ) si:

• es diferenciable
• c ′( t ) es temporal con dirección futura o nula con dirección futura para cada t en el intervalo ( a , b ).
• c ( t ) no se aproxima a un límite cuando t disminuye a un

Se define una curva causal diferenciable inextensible en el futuro con los mismos criterios, reemplazando la frase "cuando t disminuye a a " por "cuando t aumenta a b ". Dado un subconjunto S de M , el desarrollo de Cauchy futuro D ⁺ ( S ) de S se define como el conjunto de todos los puntos p de M tales que si c  : ( a , b ) → M es cualquier curva causal diferenciable inextensible en el pasado tal que c ( t ) = p para algún t en ( a , b ) , entonces existe algún s en ( a , b ) con c ( s ) ∈ S . Se define el desarrollo de Cauchy pasado D ⁻ ( S ) con los mismos criterios, reemplazando "inextensible en el pasado" por "inextensible en el futuro".

De manera informal:

El desarrollo de Cauchy futuro de S consiste en todos los puntos p tales que cualquier observador que llegue a p debe haber pasado por S ; el desarrollo de Cauchy pasado de S consiste en todos los puntos p tales que cualquier observador que salga de p tendrá que pasar por S.

El desarrollo de Cauchy D ( S ) es la unión del desarrollo de Cauchy futuro y el desarrollo de Cauchy pasado.

Cuando no hay curvas temporales cerradas ,${\displaystyle D^{+}}$y${\displaystyle D^{-}}$son dos regiones diferentes. Cuando la dimensión del tiempo se cierra sobre sí misma en todas partes de modo que forma un círculo, el futuro y el pasado de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$son lo mismo y ambos incluyen${\displaystyle {\mathcal {S}}}$La superficie de Cauchy se define rigurosamente en términos de intersecciones con curvas inextensibles para abordar este caso de tiempo circular. Una curva inextensible es una curva sin extremos: o bien se extiende infinitamente, permaneciendo temporal o nula, o bien se cierra sobre sí misma formando un círculo, una curva cerrada no espacial.

Cuando existen curvas temporales cerradas, o incluso curvas no espaciales cerradas, una superficie de Cauchy sigue determinando el futuro, pero este incluye la propia superficie. Esto significa que las condiciones iniciales obedecen a una restricción, y la superficie de Cauchy no tiene las mismas características que cuando el futuro y el pasado son disjuntos.

Si no hay curvas temporales cerradas, entonces dado${\displaystyle {\mathcal {S}}}$una superficie de Cauchy parcial y si${\displaystyle D^{+}({\mathcal {S}})\cup {\mathcal {S}}\cup D^{-}({\mathcal {S}})={\mathcal {M}}}$, todo el colector , entonces${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es una superficie de Cauchy. Cualquier superficie de constante${\displaystyle t}$En el espacio-tiempo de Minkowski, se trata de una superficie de Cauchy.

Si${\displaystyle D^{+}({\mathcal {S}})\cup {\mathcal {S}}\cup D^{-}({\mathcal {S}})\not ={\mathcal {M}}}$entonces existe un horizonte de Cauchy entre${\displaystyle D^{\pm }({\mathcal {S}})}$y regiones de la variedad no completamente determinadas por la información sobre${\displaystyle {\mathcal {S}}}$Un claro ejemplo físico de horizonte de Cauchy es el segundo horizonte dentro de un agujero negro cargado o en rotación . El horizonte más externo es un horizonte de sucesos , más allá del cual la información no puede escapar, pero donde el futuro aún se determina por las condiciones externas. Dentro del horizonte interno, el horizonte de Cauchy, la singularidad es visible y para predecir el futuro se requieren datos adicionales sobre lo que surge de ella.

Dado que un horizonte de Cauchy de agujero negro solo se forma en una región donde las geodésicas son salientes, en coordenadas radiales, en una región donde la singularidad central es repulsiva, es difícil imaginar con exactitud cómo se forma. Por esta razón, Kerr y otros sugieren que un horizonte de Cauchy nunca se forma, sino que el horizonte interior es, de hecho, una singularidad de tipo espacial o temporal. El horizonte interior corresponde a la inestabilidad debida a la inflación de masa . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

Un espacio-tiempo homogéneo con un horizonte de Cauchy es un espacio anti-de Sitter .

Artículos de investigación

• Choquet-Bruhat, Yvonne ; Geroch, Robert. Aspectos globales del problema de Cauchy en la relatividad general . Com. Matemáticas. Física. 14 (1969), 329–335.
• Geroch, Robert. Dominio de la dependencia . J. Física Matemática. 11 (1970), 437–449.
• Bernal, Antonio N.; Sánchez, Miguel. "Sobre las hipersuperficies suaves de Cauchy y el teorema de división de Geroch" . Com. Matemáticas. Física. 243 (2003), núm. 3, 461–470.
• Bernal, Antonio N.; Sánchez, Miguel. Suavidad de las funciones temporales y la división métrica de los espaciotiempos globalmente hiperbólicos . Comm. Math. Phys. 257 (2005), n.º 1, 43–50.

Libros de texto

• Beem, John K.; Ehrlich, Paul E.; Easley, Kevin L. Geometría lorentziana global . Segunda edición. Monografías y libros de texto sobre matemáticas puras y aplicadas, 202. Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1996. xiv+635 págs. ISBN 0-8247-9324-2
• Choquet-Bruhat, Yvonne. Relatividad general y las ecuaciones de Einstein . Monografías matemáticas de Oxford. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi+785 pp. ISBN 978-0-19-923072-3
• Hawking, SW; Ellis, GFR La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Monografías de Cambridge sobre física matemática, n.° 1. Cambridge University Press, Londres-Nueva York, 1973. xi+391 págs.
• O'Neill, Barrett. Geometría semiriemanniana. Con aplicaciones a la relatividad . Matemáticas puras y aplicadas, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nueva York, 1983. xiii+468 pp. ISBN 0-12-526740-1
• Penrose, Roger. Técnicas de topología diferencial en relatividad . Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Applied Mathematics, No. 7. Society for Industrial and Applied Mathematics, Filadelfia, Pa., 1972. viii+72 pp.
• Wald, Robert M. Relatividad general . University of Chicago Press, Chicago, IL, 1984. xiii+491 pp. ISBN 0-226-87032-4; 0-226-87033-2
• Ringström, H. El problema de Cauchy en la relatividad general . Conferencias ESI en Matemáticas y Física, Sociedad Matemática Europea (EMS), Zúrich, 2009.