condición de contorno de Cauchy

En matemáticas , una condición de contorno de Cauchy ( del francés: [ koʃi ] ) añade a una ecuación diferencial ordinaria o parcial condiciones que la solución debe satisfacer en la frontera; idealmente, para asegurar la existencia de una solución única. Una condición de contorno de Cauchy especifica tanto el valor de la función como la derivada normal en la frontera del dominio . Esto equivale a imponer una condición de contorno de Dirichlet y una de Neumann . Recibe su nombre del prolífico analista matemático francés del siglo XIX, Augustin-Louis Cauchy .

Las condiciones de contorno de Cauchy son simples y comunes en ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden ,

${\displaystyle y''(s)=f{\big (}y(s),y'(s),s{\big )},}$

donde, para garantizar una solución única${\displaystyle y(s)}$Si existe, se puede especificar el valor de la función.${\displaystyle y}$y el valor de la derivada${\displaystyle y'}$en un punto determinado${\displaystyle s=a}$, es decir,

${\displaystyle y(a)=\alpha ,}$

y

${\displaystyle y'(a)=\beta ,}$

dónde${\displaystyle a}$es un límite o punto inicial. Dado que el parámetro${\displaystyle s}$Por lo general, el tiempo, las condiciones de Cauchy también pueden llamarse condiciones de valor inicial o datos de valor inicial o simplemente datos de Cauchy . Un ejemplo de tal situación son las leyes del movimiento de Newton, donde la aceleración${\displaystyle y''}$depende de la posición${\displaystyle y}$, velocidad${\displaystyle y'}$y el tiempo${\displaystyle s}$Aquí, los datos de Cauchy corresponden a conocer la posición y la velocidad iniciales.

Para ecuaciones diferenciales parciales, las condiciones de contorno de Cauchy especifican tanto la función como la derivada normal en el contorno. Para simplificar y concretar las cosas, consideremos una ecuación diferencial de segundo orden en el plano.

${\displaystyle A(x,y)\psi _{xx}+B(x,y)\psi _{xy}+C(x,y)\psi _{yy}=F(x,y,\psi ,\psi _{x},\psi _{y}),}$

dónde${\displaystyle \psi (x,y)}$es la solución desconocida,${\displaystyle \psi _{x}}$denota derivada de${\displaystyle \psi }$con respecto a${\displaystyle x}$etc. Las funciones${\displaystyle A,B,C,F}$Especifica el problema.

Ahora buscamos un${\displaystyle \psi }$que satisface la ecuación diferencial parcial en un dominio${\displaystyle \Omega }$, que es un subconjunto de la${\displaystyle xy}$plano, y de tal manera que las condiciones de contorno de Cauchy

${\displaystyle \psi (x,y)=\alpha (x,y),\quad \mathbf {n} \cdot \nabla \psi =\beta (x,y)}$

mantener para todos los puntos límite${\displaystyle (x,y)\in \partial \Omega }$. Aquí${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \nabla \psi }$es la derivada en la dirección de la normal al límite. Las funciones${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son los datos de Cauchy.

Nótese la diferencia entre una condición de contorno de Cauchy y una condición de contorno de Robin . En la primera, especificamos tanto la función como la derivada normal. En la segunda, especificamos un promedio ponderado de ambas.

Nos gustaría que las condiciones de contorno aseguraran que existe exactamente una solución (única), pero para ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, no es tan sencillo garantizar la existencia y unicidad como para ecuaciones diferenciales ordinarias. Los datos de Cauchy son más relevantes para problemas hiperbólicos (por ejemplo, la ecuación de onda ) en dominios abiertos (por ejemplo, el semiplano). ^{[ 1 ]}

• condición de contorno de Dirichlet
• condición de contorno mixta
• condición de contorno de Neumann
• condición de contorno de Robin