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Teorema min-max

En álgebra lineal y análisis funcional , el teorema min-max , o teorema variacional , o principio min-max de Courant - Fischer - Weyl , es un resultado que proporciona una carac...

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En álgebra lineal y análisis funcional , el teorema min-max , o teorema variacional , o principio min-max de Courant - Fischer - Weyl , es un resultado que proporciona una caracterización variacional de los autovalores de operadores hermíticos compactos en espacios de Hilbert . Puede considerarse el punto de partida de muchos resultados de naturaleza similar.

Este artículo analiza primero el caso de dimensión finita y sus aplicaciones antes de considerar los operadores compactos en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Para los operadores compactos, la demostración del teorema principal utiliza esencialmente la misma idea que en el caso de dimensión finita.

En el caso de que el operador no sea hermitiano, el teorema proporciona una caracterización equivalente de los valores singulares asociados . El teorema min-max puede extenderse a operadores autoadjuntos acotados inferiormente.

Matrices

Sea A una matriz hermitiana n × n . Al igual que con muchos otros resultados variacionales sobre valores propios, se considera el cociente de Rayleigh - Ritz R A : C n \ {0} → R definido por 

RA(incógnita)=(Aincógnita,incógnita)(incógnita,incógnita){\displaystyle R_{A}(x)={\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}}

donde (⋅, ⋅) denota el producto interno euclidiano en C n .

El cociente de Rayleigh de un vector propiov{\displaystyle v}es su valor propio asociadoλ{\displaystyle \lambda }porqueRA(v)=(λincógnita,incógnita)/(incógnita,incógnita)=λ{\displaystyle R_{A}(v)=(\lambda x,x)/(x,x)=\lambda }Para una matriz hermitiana A , el rango de las funciones continuas R A ( x ) es un intervalo compacto [ a , b ] de la recta real. El valor máximo de b y el valor mínimo de a son, respectivamente, el mayor y el menor autovalor de A. El teorema min-max es un refinamiento de este hecho.

Teorema min-max

DejarA{\textstyle A}ser hermitiano en un espacio de producto internoV{\textstyle V}con dimensiónnorte{\textstyle n}, con el espectro ordenado en orden descendenteλ1≥...≥λnorte{\textstyle \lambda _ {1} \geq ... \geq \lambda _ {n}}.

Dejarv1,...,vnorte{\textstyle v_{1},...,v_{n}}sean los vectores propios ortogonales de longitud unitaria correspondientes.

Invierta el orden del espectro, de modo queξ1=λnorte,...,ξnorte=λ1{\textstyle \xi _{1}=\lambda _{n},...,\xi _{n}=\lambda _{1}}.

(Desigualdad de Poincaré) — DejemosMETRO{\textstyle M}ser un subespacio deV{\textstyle V}con dimensiónk{\textstyle k}, entonces existen vectores unitariosincógnita,y∈METRO{\textstyle x,y\in M}, de tal manera que

⟨incógnita,Aincógnita⟩≤λk{\textstyle \langle x,Ax\rangle \leq \lambda _ {k}}, y⟨y,Ay⟩≥ξk{\textstyle \langle y,Ay\rangle \geq \xi _{k}}.

Prueba

La parte 2 es un corolario, utilizando−A{\textstyle -A}.

METRO{\textstyle M}es unk{\textstyle k}subespacio dimensional, por lo que si elegimos cualquier lista denorte−k+1{\textstyle n-k+1}vectores, su extensiónnorte:=spaganorte(vk,...vnorte){\textstyle N:=span(v_{k},...v_{n})}deben intersecarseMETRO{\textstyle M}en al menos una sola línea.

Tomar unidadincógnita∈METRO∩norte{\textstyle x\in M\cap N}Eso es lo que necesitamos.

incógnita=∑i=knorteaivi{\textstyle x=\sum _{i=k}^{n}a_{i}v_{i}}, desdeincógnita∈norte{\textstyle x\in N}.
Desde∑i=knorte|ai|2=1{\textstyle \sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}=1}, encontramos⟨incógnita,Aincógnita⟩=∑i=knorte|ai|2λi≤λk{\textstyle \langle x,Ax\rangle =\sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}\lambda _{i}\leq \lambda _{k}}.

teorema minimax —λk=máximoMETRO⊂Voscuro⁡(METRO)=kminincógnita∈METRO‖incógnita‖=1⟨incógnita,Aincógnita⟩=minMETRO⊂Voscuro⁡(METRO)=norte−k+1máximoincógnita∈METRO‖incógnita‖=1⟨incógnita,Aincógnita⟩. {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{k}&=\max _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=k\end{array}}\min _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle \\&=\min _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=n-k+1\end{array}}\max _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle {\text{. }}\end{aligned}}}

Prueba

La parte 2 es un corolario de la parte 1, mediante el uso de−A{\textstyle -A}.

Por la desigualdad de Poincaré,λk{\textstyle \lambda _{k}}es un límite superior hacia el lado derecho.

Al establecerMETRO=spaganorte(v1,...vk){\textstyle {\mathcal {M}}=span(v_{1},...v_{k})}Se alcanza el límite superior.

Defina la traza parcialtrV(A){\textstyle tr_{V}(A)}ser el rastro de la proyección deA{\textstyle A}aV{\textstyle V}Es igual a∑ivi∗Avi{\textstyle \sum _ {i}v_ {i}^{*}Av_ {i}}dada una base ortonormal deV{\textstyle V}.

Fórmula minimax de Wielandt ( [ 1 ] : 44 ) — Sea 1≤i1<⋯<ik≤norte{\textstyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}sean números enteros. Defina una bandera parcial para que sea una colección anidada.V1⊂⋯⊂Vk{\textstyle V_{1}\subset \cdots \subset V_{k}}de subespacios dedonorte{\textstyle \mathbb {C} ^{n}}de tal manera queoscuro⁡(Vj)=ij{\textstyle \operatorname {dim} \left(V_{j}\right)=i_{j}}a pesar de1≤j≤k{\textstyle 1\leq j\leq k}.

Defina la variedad de Schubert asociada.incógnita(V1,…,Vk){\textstyle X\left(V_{1},\ldots ,V_{k}\right)}ser la colección de todosk{\textstyle k}subespacios dimensionalesW{\textstyle W}de tal manera queoscuro⁡(W∩Vj)≥j{\textstyle \operatorname {dim} \left(W\cap V_{j}\right)\geq j}.

λi1(A)+⋯+λik(A)=sorberV1,…,VkinfW∈incógnita(V1,…,Vk)trW(A){\displaystyle \lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)=\sup _{V_{1},\ldots ,V_{k}}\inf _{W\in X\left(V_{1},\ldots ,V_{k}\right)}tr_{W}(A)}

Prueba

El≤{\textstyle \leq }caso.

DejarVj=spaganorte(mi1,…,miij){\textstyle V_{j}=span(e_{1},\dots,e_{i_{j}})}y cualquierW∈incógnita(V1,…,Vk){\textstyle W\in X\left(V_{1},\ldots ,V_{k}\right)}, queda por demostrar queλi1(A)+⋯+λik(A)≤trW(A){\displaystyle \lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)\leq tr_{W}(A)}

Para demostrar esto, construimos un conjunto ortonormal de vectores.v1,…,vk{\textstyle v_{1},\dots ,v_{k}}de tal manera quevj∈Vj∩W{\textstyle v_{j}\in V_{j}\cap W}. EntoncestrW(A)≥∑j⟨vj,Avj⟩≥λij(A){\textstyle tr_{W}(A)\geq \sum _{j}\langle v_{j},Av_{j}\rangle \geq \lambda _{i_{j}}(A)}

Desdedimetro(V1∩W)≥1{\textstyle dim(V_{1}\cap W)\geq 1}, elegimos cualquier unidadv1∈V1∩W{\textstyle v_{1}\in V_{1}\cap W}. A continuación, dado quedimetro(V2∩W)≥2{\textstyle dim(V_{2}\cap W)\geq 2}, elegimos cualquier unidadv2∈(V2∩W){\textstyle v_{2}\in (V_{2}\cap W)}que es perpendicular av1{\textstyle v_{1}}, etcétera.

El≥{\textstyle \geq }caso.

Para cualquier secuencia de subespacios de este tipoVi{\textstyle V_{i}}, debemos encontrar algunosW∈incógnita(V1,…,Vk){\textstyle W\in X\left(V_{1},\ldots ,V_{k}\right)}de tal manera queλi1(A)+⋯+λik(A)≥trW(A){\displaystyle \lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)\geq tr_{W}(A)}

Ahora lo demostramos por inducción.

Elnorte=1{\textstyle n=1}El caso es el teorema de Courant-Fischer. Supongamos ahoranorte≥2{\textstyle n\geq 2}.

Sii1≥2{\textstyle i_{1}\geq 2}, entonces podemos aplicar la inducción. Seami=spaganorte(mii1,…,minorte){\textstyle E=span(e_{i_{1}},\dots ,e_{n})}. Construimos una bandera parcial dentromi{\textstyle E}desde la intersección demi{\textstyle E}conV1,…,Vk{\textstyle V_{1},\dots ,V_{k}}.

Comenzamos eligiendo un(ik−(i1−1)){\textstyle (i_{k}-(i_{1}-1))}subespacio de dimensiónWk′⊂mi∩Vik{\textstyle W_{k}'\subset E\cap V_{i_{k}}}, que existe al contar dimensiones. Esto tiene codimensión(i1−1){\textstyle (i_{1}-1)}dentroVik{\textstyle V_{i_{k}}}.

Luego bajamos un espacio para elegir un(ik−1−(i1−1)){\textstyle (i_{k-1}-(i_{1}-1))}subespacio de dimensiónWk−1′⊂Wk∩Vik−1{\textstyle W_{k-1}'\subset W_{k}\cap V_{i_{k-1}}}. Esto todavía existe. Etc. Ahora desdedimetro(mi)≤norte−1{\textstyle dim(E)\leq n-1}, aplicamos la hipótesis de inducción, existe algunaW∈incógnita(W1,…,Wk){\textstyle W\in X(W_{1},\dots ,W_{k})}de tal manera queλi1−(i1−1)(A|mi)+⋯+λik−(i1−1)(A|mi)≥trW(A){\displaystyle \lambda _{i_{1}-(i_{1}-1)}(A|E)+\cdots +\lambda _{i_{k}-(i_{1}-1)}(A|E)\geq tr_{W}(A)}Ahoraλij−(i1−1)(A|mi){\textstyle \lambda _{i_{j}-(i_{1}-1)}(A|E)}es el(ij−(i1−1)){\textstyle (i_{j}-(i_{1}-1))}-el autovalor deA{\textstyle A}proyectado ortogonalmente hacia abajo hastami{\textstyle E}. Por el teorema de entrelazamiento de Cauchy,λij−(i1−1)(A|mi)≤λij(A){\textstyle \lambda _{i_{j}-(i_{1}-1)}(A|E)\leq \lambda _{i_{j}}(A)}. Desdeincógnita(W1,…,Wk)⊂incógnita(V1,…,Vk){\textstyle X(W_{1},\dots ,W_{k})\subset X(V_{1},\dots ,V_{k})}Hemos terminado.

Sii1=1{\textstyle i_{1}=1}, entonces realizamos una construcción similar. Seami=spaganorte(mi2,…,minorte){\textstyle E=span(e_{2},\dots ,e_{n})}. SiVk⊂mi{\textstyle V_{k}\subset E}Entonces podemos inducir. De lo contrario, construimos una secuencia de banderas parcial.W2,…,Wk{\textstyle W_{2},\dots ,W_{k}}Por inducción, existe algunaW′∈incógnita(W2,…,Wk)⊂incógnita(V2,…,Vk){\textstyle W'\in X(W_{2},\dots ,W_{k})\subset X(V_{2},\dots ,V_{k})}, de tal manera queλi2−1(A|mi)+⋯+λik−1(A|mi)≥trW′(A){\displaystyle \lambda _{i_{2}-1}(A|E)+\cdots +\lambda _{i_{k}-1}(A|E)\geq tr_{W'}(A)}de este modo λi2(A)+⋯+λik(A)≥trW′(A){\displaystyle \lambda _{i_{2}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)\geq tr_{W'}(A)}Y queda por encontrar algunosv{\textstyle v}de tal manera queW′⊕v∈incógnita(V1,…,Vk){\textstyle W'\oplus v\in X(V_{1},\dots ,V_{k})}.

SiV1⊄W′{\textstyle V_{1}\not \subset W'}, entonces cualquierv∈V1∖W′{\textstyle v\in V_{1}\setminus W'}funcionaría. De lo contrario, siV2⊄W′{\textstyle V_{2}\not \subset W'}, entonces cualquierv∈V2∖W′{\textstyle v\in V_{2}\setminus W'}funcionaría, y así sucesivamente. Si ninguna de estas funciona, entonces significaVk⊂mi{\textstyle V_{k}\subset E}, contradicción.

Esto tiene algunos corolarios: [ 1 ] : 44

traza parcial extremal —λ1(A)+⋯+λk(A)=sorberoscuro⁡(V)=ktrV(A){\displaystyle \lambda _{1}(A)+\dots +\lambda _{k}(A)=\sup _{\operatorname {dim} (V)=k}tr_{V}(A)}

ξ1(A)+⋯+ξk(A)=infoscuro⁡(V)=ktrV(A){\displaystyle \xi _{1}(A)+\dots +\xi _{k}(A)=\inf _{\operatorname {dim} (V)=k}tr_{V}(A)}

Corolario — La sumaλ1(A)+⋯+λk(A){\textstyle \lambda _{1}(A)+\dots +\lambda _{k}(A)}es una función convexa yξ1(A)+⋯+ξk(A){\textstyle \xi _{1}(A)+\dots +\xi _{k}(A)}es cóncavo.

(Desigualdad de Schur-Horn)ξ1(A)+⋯+ξk(A)≤ai1,i1+⋯+aik,ik≤λ1(A)+⋯+λk(A){\displaystyle \xi _{1}(A)+\dots +\xi _{k}(A)\leq a_{i_{1},i_{1}}+\dots +a_{i_{k},i_{k}}\leq \lambda _{1}(A)+\dots +\lambda _{k}(A)}para cualquier subconjunto de índices.

Equivalentemente, esto indica que el vector diagonal deA{\textstyle A}está mayoritariamente determinado por su espectro propio.

Desigualdad de Hölder según la norma Schatten : dado hermitianoA,B{\textstyle A,B}y la pareja de Hölder1/pag+1/q=1{\textstyle 1/p+1/q=1},|tr⁡(AB)|≤‖A‖Spag‖B‖Sq{\displaystyle |\operatorname {tr} (AB)|\leq \|A\|_{S^{p}}\|B\|_{S^{q}}}

Prueba

WLOG,B{\textstyle B}Si está diagonalizado, entonces necesitamos demostrar|∑iBiiAii|≤‖A‖Spag‖(Bii)‖lq{\textstyle |\sum _{i}B_{ii}A_{ii}|\leq \|A\|_{S^{p}}\|(B_{ii})\|_{l^{q}}}

Según la desigualdad de Hölder estándar, basta con demostrar‖(Aii)‖lpag≤‖A‖Spag{\textstyle \|(A_{ii})\|_{l^{p}}\leq \|A\|_{S^{p}}}

Por la desigualdad de Schur-Horn, las diagonales deA{\textstyle A}están mayoritariamente por el espectro propio deA{\textstyle A}y dado que el mapaF(incógnita1,…,incógnitanorte)=‖incógnita‖pag{\textstyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\|x\|_{p}}Si es simétrica y convexa, es Schur-convexa.

Contraejemplo en el caso no hermitiano

Sea N la matriz nilpotente

[0100].{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}

Defina el cociente de Rayleigh.Rnorte(incógnita){\displaystyle R_{N}(x)}Exactamente igual que en el caso hermitiano. Entonces es fácil ver que el único autovalor de N es cero, mientras que el valor máximo del cociente de Rayleigh es 1/2 . Es decir , el valor máximo del cociente de Rayleigh es mayor que el autovalor máximo .

Aplicaciones

Principio de mínimo-máximo para valores singulares

Los valores singulares { σ k } de una matriz cuadrada M son las raíces cuadradas de los valores propios de M * M (o equivalentemente MM* ). Una consecuencia inmediata de la primera igualdad del teorema min-max es:

σk↓=máximoS:oscuro⁡(S)=kminincógnita∈S,‖incógnita‖=1(METRO∗METROincógnita,incógnita)12=máximoS:oscuro⁡(S)=kminincógnita∈S,‖incógnita‖=1‖METROincógnita‖.{\displaystyle \sigma _{k}^{\downarrow }=\max _{S:\dim(S)=k}\min _{x\in S,\|x\|=1}(M^{*}Mx,x)^{\frac {1}{2}}=\max _{S:\dim(S)=k}\min _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.}

Similarmente,

σk↓=minS:oscuro⁡(S)=norte−k+1máximoincógnita∈S,‖incógnita‖=1‖METROincógnita‖.{\displaystyle \sigma _{k}^{\downarrow }=\min _{S:\dim(S)=n-k+1}\max _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.}

Aquíσk↓{\displaystyle \sigma _{k}^{\downarrow }}denota la k -ésima entrada en la secuencia decreciente de los valores singulares, de modo queσ1↓≥σ2↓≥⋯{\displaystyle \sigma _{1}^{\downarrow }\geq \sigma _{2}^{\downarrow }\geq \cdots }.

teorema de entrelazamiento de Cauchy

Sea A una matriz simétrica n × n . La matriz B m × m , donde m ≤ n , se denomina compresión de A si existe una proyección ortogonal P sobre un subespacio de dimensión m tal que PAP* = B. El teorema de entrelazamiento de Cauchy establece:

Teorema. Si los autovalores de A son α 1 ≤ ... ≤ α n , y los de B son β 1 ≤ ... ≤ β j ≤ ... ≤ β m , entonces para todo j ≤ m ,
αj≤βj≤αnorte−metro+j.{\displaystyle \alpha _{j}\leq \beta _{j}\leq \alpha _{n-m+j}.}

Esto se puede demostrar utilizando el principio min-max. Sea β i su vector propio correspondiente b i y S j el subespacio j- dimensional S j = span{ b 1 , ..., b j }, entonces

βj=máximoincógnita∈Sj,‖incógnita‖=1(Bincógnita,incógnita)=máximoincógnita∈Sj,‖incógnita‖=1(PAGAPAG∗incógnita,incógnita)≥minSjmáximoincógnita∈Sj,‖incógnita‖=1(A(PAG∗incógnita),PAG∗incógnita)=αj.{\displaystyle \beta _{j}=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(Bx,x)=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)\geq \min _{S_{j}}\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)=\alpha _{j}.}

Según la primera parte de min-max, α j ≤ β j . Por otro lado, si definimos S m − j +1 = span{ b j , ..., b m }, entonces

βj=minincógnita∈Smetro−j+1,‖incógnita‖=1(Bincógnita,incógnita)=minincógnita∈Smetro−j+1,‖incógnita‖=1(PAGAPAG∗incógnita,incógnita)=minincógnita∈Smetro−j+1,‖incógnita‖=1(A(PAG∗incógnita),PAG∗incógnita)≤αnorte−metro+j,{\displaystyle \beta _{j}=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(Bx,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)\leq \alpha _{n-m+j},}

donde la última desigualdad viene dada por la segunda parte de min-max.

Cuando n − m = 1 , tenemos α j ≤ β j ≤ α j +1 , de ahí el nombre de teorema de entrelazamiento .

La desigualdad de Lidskii

Desigualdad de Lidskii — Si1≤i1<⋯<ik≤norte{\textstyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}entoncesλi1(A+B)+⋯+λik(A+B)≤λi1(A)+⋯+λik(A)+λ1(B)+⋯+λk(B){\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{i_{1}}(A+B)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A+B)\\&\quad \leq \lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)+\lambda _{1}(B)+\cdots +\lambda _{k}(B)\end{aligned}}}

λi1(A+B)+⋯+λik(A+B)≥λi1(A)+⋯+λik(A)+ξ1(B)+⋯+ξk(B){\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{i_{1}}(A+B)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A+B)\\&\quad \geq \lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)+\xi _{1}(B)+\cdots +\xi _{k}(B)\end{aligned}}}

Prueba

La segunda es la negativa de la primera. La primera es por el algoritmo minimax de Wielandt.

λi1(A+B)+⋯+λik(A+B)=sorberV1,…,VkinfW∈incógnita(V1,…,Vk)(trW(A)+trW(B))=sorberV1,…,Vk(infW∈incógnita(V1,…,Vk)trW(A)+trW(B))≤sorberV1,…,Vk(infW∈incógnita(V1,…,Vk)trW(A)+(λ1(B)+⋯+λk(B)))=λi1(A)+⋯+λik(A)+λ1(B)+⋯+λk(B){\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{i_{1}}(A+B)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A+B)\\=&\sup _{V_{1},\dots ,V_{k}}\inf _{W\in X(V_{1},\dots ,V_{k})}(tr_{W}(A)+tr_{W}(B))\\=&\sup _{V_{1},\dots ,V_{k}}(\inf _{W\in X(V_{1},\dots ,V_{k})}tr_{W}(A)+tr_{W}(B))\\\leq &\sup _{V_{1},\dots ,V_{k}}(\inf _{W\in X(V_{1},\dots ,V_{k})}tr_{W}(A)+(\lambda _{1}(B)+\cdots +\lambda _{k}(B)))\\=&\lambda _{i_{1}}(A)+\cdots +\lambda _{i_{k}}(A)+\lambda _{1}(B)+\cdots +\lambda _{k}(B)\end{aligned}}}

Tenga en cuenta que∑iλi(A+B)=tr(A+B)=∑iλi(A)+λi(B){\displaystyle \sum _{i}\lambda _{i}(A+B)=tr(A+B)=\sum _{i}\lambda _{i}(A)+\lambda _{i}(B)}. En otras palabras,λ(A+B)−λ(A)⪯λ(B){\displaystyle \lambda (A+B)-\lambda (A)\preceq \lambda (B)}dónde⪯{\displaystyle \preceq }significa mayorización . Por el teorema de convexidad de Schur, entonces tenemos

Desigualdad de p-Wielandt-Hoffman —‖λ(A+B)−λ(A)‖ℓpag≤‖B‖Spag{\textstyle \|\lambda (A+B)-\lambda (A)\|_{\ell ^{p}}\leq \|B\|_{S^{p}}}dónde‖⋅‖Spag{\textstyle \|\cdot \|_{S^{p}}}representa la norma p-Schatten.

Operadores compactos

Sea A un operador hermitiano compacto en un espacio de Hilbert H. Recordemos que el espectro no nulo de dicho operador consta de autovalores reales con multiplicidades finitas cuyo único punto de acumulación posible es cero. Si A tiene infinitos autovalores positivos, estos se acumulan en cero. En este caso, enumeramos los autovalores positivos de A como

⋯≤λk≤⋯≤λ1,{\displaystyle \cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots \leq \lambda _{1},}

donde las entradas se repiten con multiplicidad , como en el caso de la matriz. (Para enfatizar que la secuencia es decreciente, podemos escribirλk=λk↓{\displaystyle \lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }}.) Ahora aplicamos el mismo razonamiento que en el caso de la matriz. Si S k ⊂ H es un subespacio de dimensión k , podemos obtener el siguiente teorema.

Teorema (Min-Max). Sea A un operador compacto y autoadjunto en un espacio de Hilbert H , cuyos autovalores positivos se enumeran en orden decreciente ... ≤ λ k ≤ ... ≤ λ 1 . Entonces:
máximoSkminincógnita∈Sk,‖incógnita‖=1(Aincógnita,incógnita)=λk↓,minSk−1máximoincógnita∈Sk−1⊥,‖incógnita‖=1(Aincógnita,incógnita)=λk↓.{\displaystyle {\begin{aligned}\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow },\\\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow }.\end{aligned}}}

Un par de igualdades similares se cumplen para los valores propios negativos.

Prueba

Sea S' el cierre del segmento lineal.S′=durar⁡{túk,túk+1,…}{\displaystyle S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}}El subespacio S' tiene codimensión k − 1. Por el mismo argumento de conteo de dimensiones que en el caso de la matriz, S' ∩ S k tiene dimensión positiva. Por lo tanto, existe x ∈ S'  ∩ S k con‖incógnita‖=1{\displaystyle \|x\|=1}. Dado que es un elemento de S' , tal x necesariamente satisface

(Aincógnita,incógnita)≤λk.{\displaystyle (Ax,x)\leq \lambda _{k}.}

Por lo tanto, para todo S k

infincógnita∈Sk,‖incógnita‖=1(Aincógnita,incógnita)≤λk{\displaystyle \inf _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}}

Pero A es compacto, por lo tanto la función f ( x ) = ( Ax , x ) es débilmente continua. Además, cualquier conjunto acotado en H es débilmente compacto. Esto nos permite reemplazar el ínfimo por el mínimo:

minincógnita∈Sk,‖incógnita‖=1(Aincógnita,incógnita)≤λk.{\displaystyle \min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.}

Entonces

sorberSkminincógnita∈Sk,‖incógnita‖=1(Aincógnita,incógnita)≤λk.{\displaystyle \sup _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.}

Porque la igualdad se logra cuandoSk=durar⁡{tú1,…,túk}{\displaystyle S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}},

máximoSkminincógnita∈Sk,‖incógnita‖=1(Aincógnita,incógnita)=λk.{\displaystyle \max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.}

Esta es la primera parte del teorema min-max para operadores autoadjuntos compactos.

Análogamente, consideremos ahora un subespacio S k −1 -dimensional ( k − 1 ) , cuyo complemento ortogonal se denota por S k −1 ⊥ . Si S' = span{ u 1 ... u k }, 

S′∩Sk−1⊥≠0.{\displaystyle S'\cap S_{k-1}^{\perp }\neq {0}.}

Entonces

∃incógnita∈Sk−1⊥‖incógnita‖=1,(Aincógnita,incógnita)≥λk.{\displaystyle \exists x\in S_{k-1}^{\perp }\,\|x\|=1,(Ax,x)\geq \lambda _{k}.}

Esto implica

máximoincógnita∈Sk−1⊥,‖incógnita‖=1(Aincógnita,incógnita)≥λk{\displaystyle \max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}}

where the compactness of A was applied. Index the above by the collection of k-1-dimensional subspaces gives

infSk−1maxx∈Sk−1⊥,‖x‖=1(Ax,x)≥λk.{\displaystyle \inf _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}.}

Pick Sk−1 = span{u1, ..., uk−1} and we deduce

minSk−1maxx∈Sk−1⊥,‖x‖=1(Ax,x)=λk.{\displaystyle \min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.}

Self-adjoint operators

The min-max theorem also applies to (possibly unbounded) self-adjoint operators.[2][3] Recall the essential spectrum is the spectrum without isolated eigenvalues of finite multiplicity. Sometimes we have some eigenvalues below the essential spectrum, and we would like to approximate the eigenvalues and eigenfunctions.

Theorem (Min-Max). Let A be self-adjoint, and let E1≤E2≤E3≤⋯{\displaystyle E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots } be the eigenvalues of A below the essential spectrum. Then

En=minψ1,…,ψnmax{⟨ψ,Aψ⟩:ψ∈span⁡(ψ1,…,ψn),‖ψ‖=1}{\displaystyle E_{n}=\min _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}\max\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \in \operatorname {span} (\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}),\,\|\psi \|=1\}} .

If we only have N eigenvalues and hence run out of eigenvalues, then we let En:=infσess(A){\displaystyle E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)} (the bottom of the essential spectrum) for n>N, and the above statement holds after replacing min-max with inf-sup.

Theorem (Max-Min). Let A be self-adjoint, and let E1≤E2≤E3≤⋯{\displaystyle E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots } be the eigenvalues of A below the essential spectrum. Then

En=maxψ1,…,ψn−1min{⟨ψ,Aψ⟩:ψ⊥ψ1,…,ψn−1,‖ψ‖=1}{\displaystyle E_{n}=\max _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1}}\min\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \perp \psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1},\,\|\psi \|=1\}} .

If we only have N eigenvalues and hence run out of eigenvalues, then we let En:=infσess(A){\displaystyle E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)} (the bottom of the essential spectrum) for n > N, and the above statement holds after replacing max-min with sup-inf.

The proofs[2][3] use the following results about self-adjoint operators:

Theorem. Let A be self-adjoint. Then (A−E)≥0{\displaystyle (A-E)\geq 0} for E∈R{\displaystyle E\in \mathbb {R} } if and only if σ(A)⊆[E,∞){\displaystyle \sigma (A)\subseteq [E,\infty )}.[2]:77
Theorem. If A is self-adjoint, then

infσ(A)=infψ∈D(A),‖ψ‖=1⟨ψ,Aψ⟩{\displaystyle \inf \sigma (A)=\inf _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle }

and

supσ(A)=supψ∈D(A),‖ψ‖=1⟨ψ,Aψ⟩{\displaystyle \sup \sigma (A)=\sup _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle }.[2]:77

See also

References

  1. 12Tao, Terence (2012). Topics in random matrix theory. Graduate studies in mathematics. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-7430-1.
  2. 1234G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf
  3. 12Lieb; Loss (2001). Analysis. GSM. Vol. 14 (2nd ed.). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2783-9.
  • Fisk, Steve (2005). "Una demostración muy breve del teorema de entrelazamiento de Cauchy para valores propios de matrices hermíticas". arXiv : math/0502408 .
  • Hwang, Suk-Geun (2004). "Teorema de entrelazamiento de Cauchy para valores propios de matrices hermíticas" . The American Mathematical Monthly . 111 (2): 157– 159. doi : 10.2307/4145217 . JSTOR 4145217 . 
  • Kline, Jeffery (2020). "Matrices hermíticas con borde y sumas de la función de Möbius" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 588 : 224–237 . doi : 10.1016/j.laa.2019.12.004 .
  • Reed, Michael; Simon, Barry (1978). Métodos de física matemática moderna IV: Análisis de operadores . Academic Press. ISBN 978-0-08-057045-7.
  • Edmunds, DE; Evans, WD (2018). «11.1 El principio Max-Min para operadores semiacotados y autoadjuntos» . Teoría espectral y operadores diferenciales . Publicaciones científicas de Oxford (2.ª  ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-881205-0.