matriz de Cauchy

En matemáticas , una matriz de Cauchy , llamada así en honor a Augustin-Louis Cauchy , es una matriz m × n con elementos a _ij de la forma

${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n}$

dónde${\displaystyle x_{i}}$y${\displaystyle y_{j}}$son elementos de un campo${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, y${\displaystyle (x_{i})}$y${\displaystyle (y_{j})}$son secuencias inyectivas (contienen elementos distintos ).

Cada submatriz de una matriz de Cauchy es, a su vez, una matriz de Cauchy.

La matriz de Hilbert es un caso especial de la matriz de Cauchy, donde

${\displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;}$

El determinante de una matriz de Cauchy es claramente una fracción racional en los parámetros.${\displaystyle (x_{i})}$y${\displaystyle (y_{j})}$Si las secuencias no fueran inyectivas, el determinante se anularía y tendería a infinito si alguna${\displaystyle x_{i}}$tiende a${\displaystyle y_{j}}$Por lo tanto, se conoce un subconjunto de sus ceros y polos. El hecho es que ya no hay más ceros ni polos:

El determinante de una matriz de Cauchy cuadrada A se conoce como determinante de Cauchy y se puede expresar explícitamente como

${\displaystyle \det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}}$ (Schechter 1959, ec. 4; Cauchy 1841, p. 154, ec. 10).

Siempre es distinto de cero, y por lo tanto todas las matrices de Cauchy cuadradas son invertibles . La inversa A ⁻¹ = B = [b _ij ] viene dada por

${\displaystyle b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,}$ (Schechter 1959, Teorema 1)

donde A _i (x) y B _i (x) son los polinomios de Lagrange para${\displaystyle (x_{i})}$y${\displaystyle (y_{j})}$, respectivamente. Es decir,

${\displaystyle A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}\quad {\text{y}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},}$

con

${\displaystyle A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\quad {\text{y}}\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).}$

Una matriz C se denomina de tipo Cauchy si tiene la forma

${\displaystyle C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.}$

Definiendo X = diag(x _i ), Y = diag(y _i ), se observa que tanto las matrices de Cauchy como las de tipo Cauchy satisfacen la ecuación de desplazamiento.

${\displaystyle \mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }}$

(con${\displaystyle r=s=(1,1,\ldots ,1)}$para la de Cauchy). Por lo tanto, las matrices tipo Cauchy tienen una estructura de desplazamiento común , que puede ser aprovechada al trabajar con la matriz. Por ejemplo, existen algoritmos conocidos en la literatura para

• multiplicación aproximada de matriz-vector de Cauchy con${\displaystyle O(n\log n)}$operaciones (por ejemplo, el método multipolar rápido ),
• ( pivotado ) factorización LU con${\displaystyle O(n^{2})}$operaciones (algoritmo GKO) y, por lo tanto, resolución de sistemas lineales,
• resolución de sistemas lineales en${\displaystyle {\tilde {O}}({\alpha ^{\omega -1}}n)}$operaciones con el uso de algoritmos rápidos de multiplicación de matrices , en lugar de${\displaystyle {\tilde {O}}({\alpha ^{2}}n)}$operaciones sin él, donde${\displaystyle \alpha }$es el rango de desplazamiento y${\displaystyle ^{\sim }2.37\leq \omega <3}$^{[ 1 ]} .
• algoritmos aproximados o inestables para la resolución de sistemas lineales en${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$.

Aquí${\displaystyle n}$indica el tamaño de la matriz (normalmente se trabaja con matrices cuadradas, aunque todos los algoritmos se pueden generalizar fácilmente a matrices rectangulares).

• Matriz de Toeplitz
• La identidad trisecante de Fay