secuencia de Cauchy

Si${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}$es una secuencia en el conjunto${\displaystyle X,}$entonces un módulo de convergencia de Cauchy para la secuencia es una función${\displaystyle \alpha }$del conjunto de los números naturales a sí mismo, de tal manera que para todos los números naturales${\displaystyle k}$y números naturales${\displaystyle m,n>\alpha (k),}$${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<1/k.}$

Cualquier sucesión con un módulo de convergencia de Cauchy es una sucesión de Cauchy. La existencia de un módulo para una sucesión de Cauchy se deduce de la propiedad de buen orden de los números naturales (sea${\displaystyle \alpha (k)}$ser lo más pequeño posible${\displaystyle N}$en la definición de secuencia de Cauchy, tomando${\displaystyle \varepsilon }$ser${\displaystyle 1/k}$). La existencia de un módulo también se deduce del principio de elección numerable . Las sucesiones regulares de Cauchy son sucesiones con un módulo dado de convergencia de Cauchy (generalmente${\displaystyle \alpha (k)=k}$o${\displaystyle \alpha (k)=2^{k}}$Cualquier sucesión de Cauchy con un módulo de convergencia de Cauchy es equivalente a una sucesión de Cauchy regular; esto se puede demostrar sin utilizar ninguna forma del axioma de elección.

Los matemáticos constructivos que prefieren evitar el uso de métodos de elección utilizan módulos de convergencia de Cauchy. El uso de un módulo de convergencia de Cauchy simplifica tanto las definiciones como los teoremas del análisis constructivo. Bishop (2012) y Bridges (1997) emplearon secuencias regulares de Cauchy en libros de texto de matemáticas constructivas.

Las cifras reales${\displaystyle \mathbb {R} }$son completas bajo la métrica inducida por el valor absoluto usual, y una de las construcciones estándar de los números reales involucra secuencias de Cauchy de números racionales . En esta construcción, cada clase de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales con cierto comportamiento de cola —es decir, cada clase de secuencias que se acercan arbitrariamente entre sí— es un número real.

Un ejemplo bastante diferente lo proporciona un espacio métrico X que tiene la métrica discreta (donde cualesquiera dos puntos distintos están a una distancia 1 entre sí). Cualquier sucesión de Cauchy de elementos de X debe ser constante más allá de un punto fijo y converge al término que eventualmente se repite.

Los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$no son completas (para la distancia usual): Hay secuencias de racionales que convergen (en${\displaystyle \mathbb {R} }$) a números irracionales ; estas son secuencias de Cauchy que no tienen límite en${\displaystyle \mathbb {Q} .}$De hecho, si un número real x es irracional, entonces la sucesión ( x _n ), cuyo n -ésimo término es la truncación a n decimales de la expansión decimal de x , da una sucesión de Cauchy de números racionales con límite irracional x . Ciertamente existen números irracionales en${\displaystyle \mathbb {R} ,}$Por ejemplo:

• La secuencia definida por${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+2/x_{n}}{2}}}$consta de números racionales (1, 3/2, 17/12,...), lo cual es claro a partir de la definición; sin embargo, converge a la raíz cuadrada irracional de 2 , véase el método babilónico de cálculo de la raíz cuadrada .
• La secuencia${\displaystyle x_{n}=F_{n}/F_{n-1}}$de razones de números de Fibonacci consecutivos que, si converge, converge a un límite${\displaystyle \phi }$satisfactorio${\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1,}$y ningún número racional tiene esta propiedad. Sin embargo, si se considera como una sucesión de números reales, converge al número real.${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,}$la proporción áurea , que es irracional.
• Se sabe que los valores de las funciones exponencial, seno y coseno, exp( x ), sin( x ), cos( x ), son irracionales para cualquier valor racional de x.${\displaystyle x\neq 0,}$pero cada uno puede definirse como el límite de una sucesión de Cauchy racional, utilizando, por ejemplo, la serie de Maclaurin .

La finalización gira${\displaystyle \mathbb {Q} }$en${\displaystyle \mathbb {R} .}$

El intervalo abierto${\displaystyle (0,2)}$en el conjunto de números reales con una distancia ordinaria en${\displaystyle \mathbb {R} }$no es un espacio completo: hay una secuencia${\displaystyle x_{n}=1/n}$en ella, que es Cauchy (para un límite de distancia arbitrariamente pequeño)${\displaystyle d>0}$todos los términos${\displaystyle x_{n}}$de${\displaystyle n>1/d}$encajar en el${\displaystyle (0,d)}$intervalo), sin embargo no converge en${\displaystyle X}$—su 'límite', el número 0, no pertenece al espacio${\displaystyle X.}$

La finalización convierte el intervalo abierto${\displaystyle (0,2)}$en el intervalo cerrado${\displaystyle [0,2].}$

• Toda sucesión convergente (con límite s , por ejemplo) es una sucesión de Cauchy, ya que, dado cualquier número real${\displaystyle \varepsilon >0,}$más allá de algún punto fijo, cada término de la secuencia está dentro de la distancia${\displaystyle \varepsilon /2}$de s , por lo que cualesquiera dos términos de la secuencia están a distancia${\displaystyle \varepsilon }$del otro.
• En cualquier espacio métrico, una sucesión de Cauchy${\displaystyle x_{n}}$está acotado (ya que para algún N , todos los términos de la secuencia desde el N en adelante están a una distancia de 1 entre sí, y si M es la mayor distancia entre${\displaystyle x_{N}}$y cualquier término hasta el N -ésimo, entonces ningún término de la secuencia tiene una distancia mayor que${\displaystyle M+1}$de${\displaystyle x_{N}}$).
• En cualquier espacio métrico, una sucesión de Cauchy que tiene una subsucesión convergente con límite s es también convergente (con el mismo límite), puesto que, dado cualquier número real r > 0, más allá de algún punto fijo en la sucesión original, cada término de la subsucesión está a una distancia r /2 de s , y cualesquiera dos términos de la sucesión original están a una distancia r /2 entre sí, por lo que cada término de la sucesión original está a una distancia r de s .

Estas dos últimas propiedades, junto con el teorema de Bolzano-Weierstrass , proporcionan una demostración estándar de la completitud de los números reales, estrechamente relacionada con el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel . Toda sucesión de Cauchy de números reales es acotada; por lo tanto, según el teorema de Bolzano-Weierstrass, tiene una subsucesión convergente, y por consiguiente, es convergente. Esta demostración de la completitud de los números reales utiliza implícitamente el axioma de la cota superior mínima . El enfoque alternativo, mencionado anteriormente, de construir los números reales como la completación de los números racionales, convierte la completitud de los números reales en una tautología.

Una de las ilustraciones estándar de la ventaja de poder trabajar con sucesiones de Cauchy y hacer uso de la completitud la proporciona la consideración de la suma de una serie infinita de números reales (o, más generalmente, de elementos de cualquier espacio lineal normado completo , o espacio de Banach ). Dicha serie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$Se considera que es convergente si y solo si la sucesión de sumas parciales${\displaystyle (s_{m})}$es convergente, donde ${\textstyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}.}$Es una cuestión rutinaria determinar si la secuencia de sumas parciales es de Cauchy o no, ya que para enteros positivos${\displaystyle p>q,}$$${\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.}$$

Si${\displaystyle f:M\to N}$es una aplicación uniformemente continua entre los espacios métricos M y N y ( x _n ) es una sucesión de Cauchy en M , entonces${\displaystyle (f(x_{n}))}$es una sucesión de Cauchy en N . Si${\displaystyle (x_{n})}$y${\displaystyle (y_{n})}$son dos sucesiones de Cauchy en los números racionales, reales o complejos, entonces la suma${\displaystyle (x_{n}+y_{n})}$y el producto${\displaystyle (x_{n}y_{n})}$También son secuencias de Cauchy.

También existe el concepto de secuencia de Cauchy para un espacio vectorial topológico.${\displaystyle X}$: Elija una base local${\displaystyle B}$para${\displaystyle X}$aproximadamente 0; entonces (${\displaystyle x_{k}}$) es una secuencia de Cauchy si para cada miembro${\displaystyle V\in B,}$hay algún número${\displaystyle N}$de tal manera que siempre ${\displaystyle n,m>N,x_{n}-x_{m}}$es un elemento de${\displaystyle V.}$Si la topología de${\displaystyle X}$es compatible con una métrica invariante a la traslación${\displaystyle d,}$Las dos definiciones coinciden.

Dado que la definición de sucesión de Cauchy en el espacio vectorial topológico solo requiere que exista una operación de "sustracción" continua, también puede enunciarse en el contexto de un grupo topológico : Una sucesión${\displaystyle (x_{k})}$en un grupo topológico${\displaystyle G}$es una sucesión de Cauchy si para cada vecindario abierto${\displaystyle U}$de la identidad en${\displaystyle G}$existe algún número${\displaystyle N}$de tal manera que siempre${\displaystyle m,n>N}$resulta que${\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U.}$Como se indicó anteriormente, basta con comprobar esto para los barrios en cualquier base local de la identidad en${\displaystyle G.}$

Como en la construcción de la completitud de un espacio métrico , se puede definir además la relación binaria en secuencias de Cauchy en${\displaystyle G}$eso${\displaystyle (x_{k})}$y${\displaystyle (y_{k})}$son equivalentes si para cada vecindario abierto${\displaystyle U}$de la identidad en${\displaystyle G}$existe algún número${\displaystyle N}$de tal manera que siempre${\displaystyle m,n>N}$resulta que${\displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}\in U.}$Esta relación es una relación de equivalencia : es reflexiva ya que las secuencias son secuencias de Cauchy. Es simétrica ya que${\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}}$que por continuidad de la inversa es otro entorno abierto de la identidad. Es transitivo ya que${\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''}$dónde${\displaystyle U'}$y${\displaystyle U''}$son barrios abiertos de la identidad tal que${\displaystyle U'U''\subseteq U}$; tales pares existen por la continuidad de la operación de grupo.

También existe el concepto de secuencia de Cauchy en un grupo.${\displaystyle G}$: Dejar${\displaystyle H=(H_{r})}$ser una secuencia decreciente de subgrupos normales de${\displaystyle G}$de índice finito . Entonces una secuencia${\displaystyle (x_{n})}$en${\displaystyle G}$Se dice que es Cauchy (con respecto a${\displaystyle H}$) si y solo si para cualquier${\displaystyle r}$hay${\displaystyle N}$de tal manera que para todos${\displaystyle m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}.}$

Técnicamente, esto es lo mismo que una secuencia de Cauchy de grupo topológico para una elección particular de topología en${\displaystyle G,}$es decir, aquello para lo cual${\displaystyle H}$es una base local.

El conjunto${\displaystyle C}$de tales secuencias de Cauchy forman un grupo (para el producto componente a componente), y el conjunto${\displaystyle C_{0}}$de secuencias nulas (secuencias tales que${\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}}$) es un subgrupo normal de${\displaystyle C.}$El grupo de factores${\displaystyle C/C_{0}}$se llama la finalización de${\displaystyle G}$con respecto a${\displaystyle H.}$

Entonces se puede demostrar que esta completación es isomorfa al límite inverso de la secuencia.${\displaystyle (G/H_{r}).}$

Un ejemplo de esta construcción, familiar en la teoría de números y la geometría algebraica , es la construcción de la${\displaystyle p}$Completación -ádica de los enteros con respecto a un primo${\displaystyle p.}$En este caso,${\displaystyle G}$son los números enteros bajo la suma, y${\displaystyle H_{r}}$ es el subgrupo aditivo que consta de múltiplos enteros de${\displaystyle p_{r}.}$

Si${\displaystyle H}$es una secuencia cofinal (es decir, cualquier subgrupo normal de índice finito contiene algún${\displaystyle H_{r}}$), entonces esta compleción es canónica en el sentido de que es isomorfa al límite inverso de${\displaystyle (G/H)_{H},}$dónde${\displaystyle H}$varía sobre todos los subgrupos normales de índice finito . Para más detalles, véase el cap. I.10 de "Álgebra" de Lang .

Una secuencia real${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$tiene una extensión hiperreal natural , definida para valores hipernaturales H del índice n además del n natural usual. La sucesión es de Cauchy si y solo si para cada H y K infinitos , los valores${\displaystyle u_{H}}$y${\displaystyle u_{K}}$son infinitamente cercanos o iguales , es decir,

${\displaystyle \mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0}$

donde "st" es la función de parte estándar .

Krause (2020) introdujo una noción de completitud de Cauchy de una categoría . Aplicada a${\displaystyle \mathbb {Q} }$(la categoría cuyos objetos son números racionales, y existe un morfismo de x a y si y solo si${\displaystyle x\leq y}$), esta finalización de Cauchy produce${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$(interpretado nuevamente como una categoría utilizando su orden natural).