La ratonera de Cayley

Mousetrap es el nombre de un juego introducido por el matemático inglés Arthur Cayley . En el juego, las cartas numeradas${\displaystyle 1}$a través de${\displaystyle n}$(por ejemplo, "trece" en el artículo original de Cayley) se barajan para colocarlas en alguna permutación aleatoria y se disponen en círculo con sus caras hacia arriba. Luego, comenzando con la primera carta, el jugador comienza a contar.${\displaystyle 1,2,3,...}$y pasando a la siguiente carta a medida que se incrementa el conteo. Si en algún momento el conteo actual del jugador coincide con el número de la carta a la que apunta actualmente, esa carta se retira del círculo y el jugador comienza de nuevo en${\displaystyle 1}$en la siguiente carta. Si el jugador alguna vez retira todas las cartas de la permutación de esta manera, entonces el jugador gana. Si el jugador alcanza el recuento${\displaystyle n+1}$Si aún quedan cartas, entonces se pierde la partida.

Para que se pueda retirar al menos una carta, la permutación inicial de las cartas no debe ser un desorden . Sin embargo, esta no es una condición suficiente para ganar, ya que no tiene en cuenta las retiradas posteriores. El número de maneras en que se pueden ordenar las cartas de forma que se gane el juego completo, para n = 1, 2, ..., es

1, 1, 2, 6, 15, 84, 330, 1812, 9978, 65503, ... (secuencia A007709 en el OEIS ) .

Por ejemplo, con cuatro cartas, la probabilidad de ganar es de 0,25, pero esta disminuye a medida que aumenta el número de cartas, y con trece cartas es de aproximadamente 0,0046.

• Cayley, Arthur (1878), "Sobre el juego de la ratonera", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 15 : 8–10. Escaneo del Göttinger Digitalisierungszentrum (GDZ) de la Universidad de Göttingen
• Guy, Richard K .; Nowakowski, Richard J. (1993), "Trampa para ratones", en Miklos, D.; Sos, VT ; Szonyi, T. (eds.), Combinatoria, Paul Erdős cumple ochenta años , Bolyai Society Math. Studies, vol.  1, pp. 193–206 , MR 1249712  .
• Mundfrom, Daniel J. (1994), "Un problema de permutaciones: el juego de 'Mousetrap'"", European Journal of Combinatorics , 15 (6): 555– 560, doi : 10.1006/eujc.1994.1057 , MR 1302079 .
• Spivey, Michael Z. (2009), "Polinomios de torre en escalera y el juego de la ratonera de Cayley" (PDF) , European Journal of Combinatorics , 30 (2): 532– 539, doi : 10.1016/j.ejc.2008.04.005 , MR 2489284 .

• Weisstein, Eric W. "Trampa para ratones" . MathWorld .