Complejo de presentación

En la teoría geométrica de grupos , un complejo de presentación es un complejo celular bidimensional asociado a cualquier presentación de un grupo G. El complejo tiene un único vértice y un bucle en el vértice por cada generador de G. Hay una 2-celda por cada relación en la presentación, con el límite de la 2-celda unido a lo largo de la palabra correspondiente .

• El grupo fundamental del complejo de presentación es el propio grupo G.
• La cubierta universal del complejo de presentación es un complejo de Cayley para G , cuyo 1-esqueleto es el grafo de Cayley de G .
• Cualquier complejo de presentación para G es el 2-esqueleto de un espacio de Eilenberg-MacLane.${\displaystyle K(G,1)}$.

Dejar${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{2}}$sea ​​la red entera bidimensional , con presentación

${\displaystyle G=\langle x,y|xyx^{-1}y^{-1}\rangle .}$

Entonces, el complejo de presentación para G es un toro , obtenido al pegar los lados opuestos de un cuadrado, la 2-celda, que se etiquetan como x e y . Los cuatro vértices del cuadrado se pegan en un único vértice, la 0-celda del complejo de presentación, mientras que un par formado por un círculo longitudinal y un círculo meridiano en el toro, que se intersecan en el vértice, constituye su 1-esqueleto.

El complejo de Cayley asociado es un teselado regular del plano por cuadrados unitarios. El 1-esqueleto de este complejo es un grafo de Cayley para${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$.

Dejar${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}}$sea ​​el grupo diedral infinito , con presentación${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{2}\rangle }$. El complejo de presentación para${\displaystyle G}$es${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\vee \mathbb {RP} ^{2}}$, la suma de cuñas de planos proyectivos . Para cada trayectoria, hay una 2-celda pegada a cada bucle, que proporciona la estructura celular estándar para cada plano proyectivo. El complejo de Cayley es una cadena infinita de esferas. ^{[ 1 ]}

• Roger C. Lyndon y Paul E. Schupp , Teoría combinatoria de grupos . Reimpresión de la edición de 1977 ( Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 89). Clásicos en Matemáticas. Springer-Verlag , Berlín, 2001 ISBN 3-540-41158-5
• Ronald Brown y Johannes Huebschmann, Identidades entre relaciones , en Topología de baja dimensión, London Math. Soc. Lecture Note Series 48 (ed. R. Brown y TL Thickstun, Cambridge University Press, 1982), págs.  153–202.
• Hog-Angeloni, Cynthia, Metzler, Wolfgang y Sieradski, Allan J. (eds.). Homotopía bidimensional y teoría de grupos combinatorios , London Mathematical Society Lecture Note Series, Volumen 197. Cambridge University Press, Cambridge (1993).