Teorema de Cayley

En la disciplina matemática de la teoría de grupos , el teorema de Cayley , nombrado en honor a Arthur Cayley , establece que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico . ^{[ 1 ]} Más específicamente, G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico.${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$cuyos elementos son las permutaciones del conjunto subyacente de G. Explícitamente,

• para cada${\displaystyle g\in G}$, el mapa de multiplicación por la izquierda por g${\displaystyle \ell _{g}\colon G\to G}$enviar cada elemento x a gx es una permutación de G y
• el mapa${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (G)}$enviando cada elemento g a${\displaystyle \ell _{g}}$es un homomorfismo inyectivo , por lo que define un isomorfismo de G sobre un subgrupo de${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$.

El homomorfismo${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (G)}$También puede entenderse como resultado de la acción ^de traslación izquierda de G sobre el conjunto subyacente G. ^{[ 2} ]

Cuando G es finito,${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$también es finito. La demostración del teorema de Cayley en este caso muestra que si G es un grupo finito de orden n , entonces G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico estándar.${\displaystyle S_{n}}$. Pero G también podría ser isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico más pequeño,${\displaystyle S_{m}}$para algunos${\displaystyle m<n}$; por ejemplo, el grupo de orden 6${\displaystyle G=S_{3}}$no es solo isomorfo a un subgrupo de${\displaystyle S_{6}}$, pero también (trivialmente) isomorfo a un subgrupo de${\displaystyle S_{3}}$. ^{[ 3 ]} El problema de encontrar el grupo simétrico de orden mínimo en el que se incrusta un grupo G dado es bastante difícil. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Alperin y Bell señalan que "en general, el hecho de que los grupos finitos estén incrustados en grupos simétricos no ha influido en los métodos utilizados para estudiar los grupos finitos". ^{[ 6 ]}

Cuando G es infinito,${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$es infinito, pero el teorema de Cayley sigue siendo válido.

Cuando Cayley (1854) introdujo lo que hoy se denomina grupos , las definiciones modernas no existían, y no quedó claro de inmediato que esto equivaliera a lo que entonces se llamaba grupos, que ahora se denominan grupos de permutación . El teorema de Cayley unifica ambos conceptos.

Aunque Burnside ^{[ 7 ]} atribuye el teorema a Jordan ^{[ 8 ]} , Eric Nummela ^{[ 9 ]} sostiene que el nombre estándar — «Teorema de Cayley» — es, de hecho, apropiado. El artículo original de Cayley de 1854 ^{[ 10 ]} demostró que la correspondencia en el teorema es biyectiva, pero no demostró explícitamente que fuera un homomorfismo (y, por lo tanto, una incrustación). Sin embargo, Nummela señala que Cayley dio a conocer este resultado a la comunidad matemática de la época, adelantándose así a Jordan unos 16 años.

El teorema fue publicado posteriormente por Walther Dyck en 1882 ^{[ 11 ]} y se le atribuye a Dyck en la primera edición del libro de Burnside. ^{[ 12 ]}

Una permutación de un conjunto A es una función biyectiva de A a A' . El conjunto de todas las permutaciones de A forma un grupo bajo la composición de funciones , llamado grupo simétrico en A , y se escribe como${\displaystyle \operatorname {Sym} (A)}$. ^{[ 13 ]} En particular, tomar A como el conjunto subyacente de un grupo G produce un grupo simétrico denotado${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$.

Si g es cualquier elemento de un grupo G con operación ∗, considere la función f _g  : G → G , definida por f _g ( x ) = g ∗ x . Por la existencia de inversas, esta función también tiene una inversa,${\displaystyle f_{g^{-1}}}$. Por lo tanto, la multiplicación por g actúa como una función biyectiva . Así, f _g es una permutación de G , y por lo tanto es un miembro de Sym( G ).

El conjunto K = { f _g  : g ∈ G } es un subgrupo de Sym( G ) que es isomorfo a G . La forma más rápida de establecer esto es considerar la función T  : G → Sym( G ) con T ( g ) = f _g para cada g en G . T es un homomorfismo de grupos porque (usando · para denotar composición en Sym( G )):

${\displaystyle (f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h*x)=g*(h*x)=(g*h)*x=f_{g*h}(x),}$

para todo x en G , y por lo tanto:

${\displaystyle T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g*h}=T(g*h).}$

El homomorfismo T es inyectivo ya que T ( g ) = id _G (el elemento identidad de Sym( G )) implica que g ∗ x = x para todo x en G , y tomando x como el elemento identidad e de G se obtiene g = g ∗ e = e , es decir, el núcleo es trivial. Alternativamente, T también es inyectivo ya que g ∗ x = g ′ ∗ x implica que g = g ′ (porque todo grupo es cancelativo ).

Por lo tanto, G es isomorfo a la imagen de T , que es el subgrupo K.

A veces se denomina a T la representación regular de G.

El elemento identidad del grupo corresponde a la permutación identidad. Todos los demás elementos del grupo corresponden a permutaciones desordenadas : permutaciones que no dejan ningún elemento inalterado. Dado que esto también se aplica a las potencias de un elemento del grupo, menores que el orden de dicho elemento, cada elemento corresponde a una permutación que consta de ciclos de la misma longitud: esta longitud es el orden de ese elemento. Los elementos de cada ciclo forman una clase lateral derecha del subgrupo generado por el elemento.

${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}}$con adición módulo 2; el elemento de grupo 0 corresponde a la permutación identidad e, el elemento de grupo 1 a la permutación (12) (ver notación de ciclo ). Por ejemplo, 0 + 1 = 1 y 1 + 1 = 0, por lo tanto${\textstyle 1\mapsto 0}$y${\textstyle 0\mapsto 1,}$como lo harían bajo una permutación.

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}}$con suma módulo 3; el elemento de grupo 0 corresponde a la permutación identidad e, el elemento de grupo 1 a la permutación (123) y el elemento de grupo 2 a la permutación (132). Por ejemplo, 1  +  1  =  2 corresponde a (123)(123)  =  (132).

${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}}$con adición módulo 4; los elementos corresponden a e, (1234), (13)(24), (1432).

Los elementos del grupo de cuatro elementos de Klein {e, a, b, c} corresponden a e, (12)(34), (13)(24) y (14)(23).

S ₃ ( grupo diedral de orden 6 ) es el grupo de todas las permutaciones de 3 objetos, pero también un grupo de permutaciones de los 6 elementos del grupo, y esto último es como se realiza mediante su representación regular.

Teorema: Sea G un grupo y H un subgrupo.${\displaystyle G/H}$Sea el conjunto de clases laterales izquierdas de H en G. Sea N el núcleo normal de H en G , definido como la intersección de los conjugados de H en G. Entonces el grupo cociente es${\displaystyle G/N}$es isomorfo a un subgrupo de${\displaystyle \operatorname {Sym} (G/H)}$.

El caso especial${\displaystyle H=1}$es el teorema original de Cayley.

• El teorema de Wagner-Preston es el análogo para los semigrupos inversos.
• El teorema de representación de Birkhoff , un resultado similar en la teoría del orden.
• Según el teorema de Frucht , todo grupo finito es el grupo de automorfismos de un grafo.
• Lema de Yoneda , una generalización del teorema de Cayley en teoría de categorías.
• Teorema de representación

• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica (2.ª  ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.