Percentil

En estadística , un percentil o puntuación percentil , también conocido como percentil (a menudo denotado como${\displaystyle P_{k}}$o Pk, para un porcentaje dado k ), ^{[ 1 ] [ 2 ]} es una puntuación mayor que un porcentaje dado de todas las puntuaciones (o valor del punto de datos) en una muestra . ^{[ a ]} ​​Es decir, una puntuación en el percentil k estaría por encima de aproximadamente el k % de todas las puntuaciones en su muestra. Por ejemplo, el percentil 97 (P97) es el valor tal que el 97 % de los puntos de datos son menores que él.

_Los percentiles son un tipo de cuantiles , obtenidos mediante una subdivisión en 100 grupos. El percentil 25 (P25) también se conoce como primer cuartil ( Q1 ₎ , el percentil 50 (P50) como mediana o segundo cuartil ( Q2 ), y el percentil 75 (P75) como tercer cuartil ( Q3 ). Por ejemplo, el percentil 50 ( mediana ) es la puntuación por debajo de la cual se encuentra _el 50% de las puntuaciones en la distribución.

Los percentiles se expresan en la misma unidad de medida que las puntuaciones de entrada, no en porcentaje ; por ejemplo, si las puntuaciones se refieren al peso humano , los percentiles correspondientes se expresarán en kilogramos o libras. En el límite de un tamaño de muestra infinito , el percentil se aproxima a la función percentil , la inversa de la función de distribución acumulativa .

Una magnitud relacionada es el percentil de una puntuación dada, expresado como porcentaje, que representa la fracción de puntuaciones en su distribución que son menores que ella, una definición exclusiva. Las puntuaciones y los percentiles se utilizan a menudo en la presentación de resultados de pruebas con referencia a normas , pero, como se acaba de señalar, no son lo mismo. Para los percentiles, se proporciona una puntuación y se calcula un porcentaje. Los percentiles son exclusivos: si el percentil para una puntuación específica es del 90 %, entonces el 90 % de las puntuaciones fueron menores. En cambio, para los percentiles se proporciona un porcentaje y se determina una puntuación correspondiente, que puede ser exclusiva o inclusiva. La puntuación para un porcentaje específico (por ejemplo, el percentil 90) indica una puntuación por debajo de la cual (definición exclusiva) o en o por debajo de la cual (definición inclusiva) se encuentran otras puntuaciones en la distribución.

No existe una definición estándar de percentil; ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} sin embargo, todas las definiciones arrojan resultados similares cuando el número de observaciones es muy grande y la distribución de probabilidad es continua. ^{[ 6 ]} En el límite, cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito, el percentil 100 ^p ( 0 < p < 1) se aproxima a la inversa de la función de distribución acumulativa (FDA) así formada, evaluada en p , ya que p se aproxima a la FDA. Esto puede verse como una consecuencia del teorema de Glivenko-Cantelli . A continuación se presentan algunos métodos para calcular los percentiles.

Los métodos que se dan en la sección de métodos de cálculo (a continuación) son aproximaciones para su uso en estadísticas de muestras pequeñas. En términos generales, para poblaciones muy grandes que siguen una distribución normal , los percentiles a menudo se pueden representar haciendo referencia a un gráfico de curva normal. La distribución normal se representa gráficamente a lo largo de un eje escalado a desviaciones estándar , o sigma (${\displaystyle \sigma }$) unidades. Matemáticamente, la distribución normal se extiende hasta el infinito negativo a la izquierda y hasta el infinito positivo a la derecha. Sin embargo, cabe señalar que solo una proporción muy pequeña de individuos en una población se encontrará fuera del rango de −3 σ a +3 σ . Por ejemplo, en el caso de la estatura humana, muy pocas personas superan el nivel de estatura de +3 σ .

Los percentiles representan el área bajo la curva normal, aumentando de izquierda a derecha. Cada desviación estándar representa un percentil fijo. Así, redondeando a dos decimales, −3 σ es el percentil 0,13, −2 σ el percentil 2,28, −1 σ el percentil 15,87, 0 σ el percentil 50 (tanto la media como la mediana de la distribución), +1 σ el percentil 84,13, +2 σ el percentil 97,72 y +3 σ el percentil 99,87. Esto se relaciona con la regla 68–95–99,7 o la regla de las tres sigmas. Cabe señalar que, en teoría, el percentil 0 se sitúa en el infinito negativo y el percentil 100 en el infinito positivo, aunque en muchas aplicaciones prácticas, como los resultados de pruebas, se imponen límites inferiores y/o superiores naturales.

Cuando un proveedor de servicios de Internet factura el ancho de banda variable , el percentil 95 o 98 suele excluir el 5 % o el 2 % de los picos de ancho de banda más altos de cada mes, y luego factura a la tarifa más cercana. De esta forma, se ignoran los picos poco frecuentes y se cobra al cliente de manera más justa. La razón por la que esta estadística es tan útil para medir el rendimiento de datos es que proporciona una imagen muy precisa del costo del ancho de banda. El percentil 95 indica que el 95 % del tiempo, el uso está por debajo de esta cantidad; por lo tanto, el 5 % restante del tiempo, el uso está por encima de esa cantidad.

Los médicos suelen utilizar el peso y la altura de los bebés y los niños para evaluar su crecimiento en comparación con la mediana nacional y otros percentiles que se encuentran en las tablas de crecimiento .

La velocidad del percentil 85 del tráfico en una carretera se utiliza a menudo como guía para establecer límites de velocidad y evaluar si dicho límite es demasiado alto o demasiado bajo. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

En finanzas, el valor en riesgo es una medida estándar para evaluar (de forma dependiente del modelo) la cantidad por debajo de la cual no se espera que el valor de la cartera disminuya en un período de tiempo determinado y dado un nivel de confianza.

Percentiles interpolados y de rango más cercano, exclusivos e inclusivos, para la distribución de puntuaciones de 10.

Existen numerosas fórmulas o algoritmos ^{[ 9 ]} para calcular un percentil. Hyndman y Fan ^{[ 3 ]} identificaron nueve, y la mayoría de los programas estadísticos y de hojas de cálculo utilizan uno de los métodos que describen. ^{[ 10 ]} Los algoritmos devuelven el valor de una puntuación existente en el conjunto de puntuaciones (métodos de rango más cercano) o interpolan entre puntuaciones existentes, siendo exclusivos o inclusivos.

La figura muestra una distribución de puntuación de 10, ilustra los percentiles resultantes de estos diferentes algoritmos y sirve como introducción a los ejemplos que se presentan a continuación. Los métodos más sencillos son los de rango más cercano, que devuelven una puntuación de la distribución, aunque, en comparación con los métodos de interpolación, los resultados pueden ser algo imprecisos. La tabla de métodos de rango más cercano muestra los pasos computacionales para los métodos exclusivos e inclusivos.

Los métodos de interpolación, como su nombre indica, pueden devolver una puntuación que se encuentra entre varias puntuaciones de la distribución. Los algoritmos utilizados por los programas estadísticos suelen emplear métodos de interpolación; por ejemplo, las funciones percentile.exc y percentile.inc de Microsoft Excel. La tabla de Métodos de Interpolación muestra los pasos de cálculo.

El método del rango más cercano

Una definición de percentil, que se suele dar en los textos, es que el percentil P${\displaystyle (0<P\leq 100)}$de una lista de N valores ordenados (ordenados de menor a mayor) es el valor más pequeño de la lista tal que al menos el P por ciento de los datos es menor o igual a ese valor.

Esto se calcula calculando primero el rango ordinal y luego tomando el valor de la lista ordenada que corresponde a ese rango. El rango ordinal n se calcula utilizando la fórmula

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {P}{100}}\times N\right\rceil .}$

• El uso del método de rango más cercano en listas con menos de 100 valores distintos puede dar como resultado que el mismo valor se utilice para más de un percentil.
• Un percentil calculado mediante el método del rango más cercano siempre pertenecerá a la lista ordenada original.
• El percentil 100 se define como el valor más grande en la lista ordenada.
• Este método también se denomina método de la "función de distribución empírica". ^{[ 11 ]}
• El percentil 50 calculado mediante este método es igual al valor habitual de la mediana si N es impar, pero no si N es par. ^{[ 11 ]}

El método de interpolación lineal entre rangos más cercanos

Una alternativa al redondeo, utilizada en muchas aplicaciones, es la interpolación lineal entre rangos adyacentes.

Dado el orden de las estadísticas

${\displaystyle \{v_{(i)},i=1,2,\ldots ,N:v_{(i+1)}\geq v_{(i)},\forall i=1,2,\ldots ,N-1\},}$

La interpolación lineal se realiza simplemente calculando

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}v_{(1)}{\text{, para }}x\leq 1,\\v_{(N)}{\text{, para }}x=N,\\v_{(\lfloor x\rfloor )}+(x{\bmod {1}})(v_{(\lfloor x\rfloor +1)}-v_{(\lfloor x\rfloor )}){\text{, para }}1<x<N.\end{cases}}}$

, dónde${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$utiliza la función piso para representar la parte entera de x , mientras que${\displaystyle x{\bmod {1}}}$utiliza la función módulo para representar su parte fraccionaria (el resto después de la división por 1).

Por aquí,${\displaystyle v(i)=v_{(i)}{\text{, para }}i=1,2,\ldots ,N.}$

Como podemos ver, x es la versión continua del subíndice i , que interpola linealmente v entre nodos adyacentes.

Hay dos maneras en que los enfoques variantes difieren. La primera es en la relación lineal entre el rango x , el porcentaje de rango${\displaystyle P=100p}$y una constante que es función del tamaño de la muestra N :

${\displaystyle x=f(p,N)=(N+c_{1})p+c_{2}.}$

Existe el requisito adicional de que el punto medio del rango${\displaystyle (1,N)}$, correspondientes a la mediana , ocurren en${\displaystyle p=0.5}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(0.5,N)&={\frac {N+c_{1}}{2}}+c_{2}={\frac {N+1}{2}}\\\therefore 2c_{2}+c_{1}&=1\end{aligned}},}$

y nuestra función revisada ahora tiene solo un grado de libertad, con este aspecto:

${\displaystyle x=f(p,N)=(N+1-2C)p+C.}$

La segunda forma en que difieren las variantes es en la definición de la función cerca de los márgenes de la${\displaystyle [0,1]}$rango de p :${\displaystyle f(p,N)}$debería producir, o verse obligado a producir, un resultado en el rango${\displaystyle [1,N]}$, lo que puede significar la ausencia de una correspondencia uno a uno en la región más amplia. Un autor ha sugerido una elección de${\displaystyle C={\tfrac {1}{2}}(1+\xi )}$donde ξ es la forma de la distribución generalizada de valores extremos, que es el límite de valores extremos de la distribución muestreada.

Primera variante, C = 1/2

(Fuentes: Función "prctile" de Matlab, ^{[ 12 ] [ 11 ]} )

${\displaystyle x=f(p)={\begin{cases}Np+{\frac {1}{2}},\forall p\in \left[p_{1},p_{N}\right],\\1,\forall p\in \left[0,p_{1}\right],\\N,\forall p\in \left[p_{N},1\right].\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{N}}\left(i-{\frac {1}{2}}\right),i\in [1,N]\cap \mathbb {N} }$

${\displaystyle \therefore p_{1}={\frac {1}{2N}},p_{N}={\frac {2N-1}{2N}}.}$

Además, dejemos

${\displaystyle P_{i}=100p_{i}.}$

La relación inversa se limita a una región más estrecha:

${\displaystyle p={\frac {1}{N}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right),x\in (1,N)\cap \mathbb {R} .}$

Segunda variante, C = 1

[Fuente: Algunos paquetes de software, incluidos NumPy ^{[ 13 ]} y Microsoft Excel ^{[ 5 ]} (hasta la versión 2013 inclusive, mediante la función PERCENTILE.INC). NIST lo menciona como alternativa . ^{[ 10 ]} ]

${\displaystyle x=f(p,N)=p(N-1)+1{\text{, }}p\in [0,1]}$

${\displaystyle \therefore p={\frac {x-1}{N-1}}{\text{, }}x\in [1,N].}$

Tenga en cuenta que el${\displaystyle x\leftrightarrow p}$La relación es uno a uno para${\displaystyle p\in [0,1]}$, la única de las tres variantes con esta propiedad; de ahí el sufijo "INC", de inclusivo , en la función de Excel.

Tercera variante, C = 0

(La variante principal recomendada por NIST . ^{[ 10 ]} Adoptada por Microsoft Excel desde 2010 mediante la función PERCENTIL.EXC. Sin embargo, como indica el sufijo "EXC", la versión de Excel excluye ambos extremos del rango de p , es decir,${\displaystyle p\in (0,1)}$, mientras que la versión "INC", la segunda variante, no lo hace; de ​​hecho, cualquier número menor que${\displaystyle {\frac {1}{N+1}}}$También está excluido y causaría un error.)

${\displaystyle x=f(p,N)={\begin{cases}1{\text{, }}p\in \left[0,{\frac {1}{N+1}}\right]\\p(N+1){\text{, }}p\in \left({\frac {1}{N+1}},{\frac {N}{N+1}}\right)\\N{\text{, }}p\in \left[{\frac {N}{N+1}},1\right]\end{cases}}.}$

La inversa se limita a una región más estrecha:

${\displaystyle p={\frac {x}{N+1}}{\text{, }}x\in (0,N).}$

• Décimo
• Rango percentil
• Cuantil
• Estadísticas descriptivas