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Grupoide central

En álgebra abstracta , un grupoide central es una estructura algebraica definida por una operación binaria. ⋅ {\displaystyle \cdot } sobre un conjunto de elementos que satisface...

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En álgebra abstracta , un grupoide central es una estructura algebraica definida por una operación binaria.⋅{\displaystyle \cdot }sobre un conjunto de elementos que satisface la ecuación (a⋅b)⋅(b⋅do)=b.{\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b.} Estas estructuras tienen biyecciones a los digrafos centrales , grafos dirigidos que tienen exactamente un camino de dos aristas entre cada dos vértices, y (para grupoides centrales finitos) a las matrices (0,1) cuyos cuadrados son las matrices de unos .

Como ejemplo, la operación⋅{\displaystyle \cdot }en puntos del plano euclidiano , definidos recombinando sus coordenadas cartesianas como (incógnita1,y1)⋅(incógnita2,y2)=(y1,incógnita2){\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) \ cdot (x_ {2}, y_ {2}) = (y_ {1}, x_ {2})}es un grupoide central. El mismo tipo de recombinación define un grupoide central sobre los pares ordenados de elementos de cualquier conjunto, llamado grupoide central natural .

Como estructura algebraica con una sola operación binaria, un grupoide central es un tipo especial de magma o grupoide. Debido a que los grupoides centrales se definen mediante una identidad ecuacional , forman diversas álgebras en las que los objetos libres se denominan grupoides centrales libres . Los grupoides centrales libres son infinitos y no tienen elementos idempotentes . Los grupoides centrales finitos, incluidos los grupoides centrales naturales sobre conjuntos finitos, siempre tienen un número cuadrado de elementos, cuya raíz cuadrada es el número de elementos idempotentes.

Definiciones equivalentes

Un grupoide central consta de un conjunto de elementos y una operación binaria.⋅{\displaystyle \cdot }en este conjunto que satisface la ecuación (a⋅b)⋅(b⋅do)=b{\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b} para todos los elementosa{\displaystyle a},b{\displaystyle b}, ydo{\displaystyle c}. [ 1 ]

Los grupoides centrales pueden definirse de forma equivalente en términos de digrafos centrales . Estos son grafos dirigidos en los que cada par ordenado de vértices (no necesariamente distintos) forma el vértice inicial y final de un camino dirigido de tres vértices. Es decir, para cadatú{\displaystyle u}yv{\displaystyle v}debe existir un único vérticew{\displaystyle w}de tal manera quetú→w{\displaystyle u\to w}yw→v{\displaystyle w\to v}son aristas dirigidas. Desde cualquier digrafo central, se puede definir un grupoide central en el quetú⋅v=w{\displaystyle u\cdot v=w}para cada ruta dirigidatú→w→v{\displaystyle u\to w\to v}. Por el contrario, para cualquier grupoide central podemos definir un digrafo central haciendo que el conjunto de vértices sean los elementos del grupoide, y diciendo que hay una aristatú→w{\displaystyle u\to w}siempre que existav{\displaystyle v}contú⋅v=w{\displaystyle u\cdot v=w}. [ 2 ]

Una tercera definición equivalente de grupoides centrales involucra matrices (0,1).METRO{\displaystyle M}con la propiedad queMETRO2{\displaystyle M^{2}}es una matriz de unos . Estas son exactamente las matrices de adyacencia dirigidas de los grafos finitos que definen grupoides centrales finitos. [ 2 ]

Casos especiales

Finito

Cada grupoide central finito tiene un número cuadrado de elementos. Si el número de elementos esk2{\displaystyle k^{2}}, entonces hay exactamentek{\displaystyle k}elementos idempotentes (elementosi{\displaystyle i}con la propiedad quei⋅i=i{\displaystyle i\cdot i=i}). [ 2 ] En el digrafo central correspondiente, cada vértice idempotente tiene un bucle propio . Los vértices restantes pertenecen cada uno a un único 2-ciclo. En la vista matricial de los grupoides centrales, los elementos idempotentes forman los 1 en la diagonal principal de una matriz que representa el grupoide. Cada fila y columna de la matriz también contiene exactamentek{\displaystyle k}1s. El espectro de la matriz esk,0,0,…,0{\displaystyle k,0,0,\dots ,0}. [ 3 ] El rangor{\displaystyle r}de la matriz puede ser cualquier número en el rangok≤r≤⌊(k+1)2/2⌋{\displaystyle k\leq r\leq \lfloor (k+1)^{2}/2\rfloor }. [ 4 ]

El número de grupoides centrales enk2{\displaystyle k^{2}}elementos etiquetados, o equivalentemente, matrices (0,1) de dimensiónk2×k2{\displaystyle k^{2}\times k^{2}}cuyo cuadrado es la matriz de todos unos, parak=1,2,3{\displaystyle k=1,2,3}, son

1, 12, 1330560 (secuencia A283627 en el OEIS ) .

Encontrar estos números, para valores generales dek{\displaystyle k}, fue planteado como un problema abierto por Alan J. Hoffman en 1967. [ 5 ]

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Como ocurre con cualquier variedad de álgebra, los grupoides centrales poseen objetos libres , los grupoides centrales libres . El grupoide central libre, para un conjunto dado de elementos generadores, puede definirse como aquel cuyos elementos son clases de equivalencia de expresiones finitas, bajo una relación de equivalencia en la que dos expresiones son equivalentes cuando pueden transformarse una en la otra aplicando repetidamente la ecuación definitoria de un grupoide central. A diferencia de los grupoides centrales finitos, los grupoides centrales libres no poseen elementos idempotentes . El problema de comprobar la equivalencia de expresiones para un grupoide central libre fue uno de los ejemplos que motivaron el descubrimiento del algoritmo de completación de Knuth-Bendix para construir un sistema de reescritura de términos que resuelve este problema. [ 6 ]

El sistema de reescritura resultante consta de las reglas (a⋅b)⋅(b⋅do)→ba⋅((a⋅b)⋅do)→a⋅b(a⋅(b⋅do))⋅do→b⋅do{\displaystyle {\begin{aligned}(a\cdot b)\cdot (b\cdot c)&\to b\\a\cdot {\bigl (}(a\cdot b)\cdot c{\bigr )}&\to a\cdot b\\{\bigl (}a\cdot (b\cdot c){\bigr )}\cdot c&\to b\cdot c\\\end{aligned}}} donde cualquier subexpresión que coincida con el lado izquierdo de cualquiera de estas reglas se transforma en el lado derecho, hasta que no queden más subexpresiones coincidentes. Dos expresiones son equivalentes si se transforman de esta manera en la misma expresión. [ 6 ]

Natural

Un grupoide central natural tiene como elementos los pares ordenados de valores en algún conjunto definitorio. Su operación binaria⋅{\displaystyle \cdot }recombina estos pares como [ 6 ](incógnita1,y1)⋅(incógnita2,y2)=(y1,incógnita2){\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(y_{1},x_{2})} Por ejemplo, si el conjunto definitorio es el conjunto de los números reales , esta operación define un producto sobre puntos en el plano euclidiano , descritos por sus coordenadas cartesianas . Si el conjunto definitorio es finito, entonces también lo es el grupoide central natural resultante. [ 1 ]

Los grupoides centrales naturales se caracterizan entre los grupoides centrales por obedecer otra ecuación, (a⋅(a⋅a))⋅b=a⋅b{\displaystyle {\bigl (}a\cdot (a\cdot a){\bigr )}\cdot b=a\cdot b} para todos los elementosa{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}. [ 6 ] [ 2 ]

Véase también

  • Grafo de amistad , un grafo no dirigido con la propiedad de que cada par de vértices distintos son los extremos de un único camino de tres vértices.
  • Bigrupoide semicentral , una generalización de los grupoides centrales con dos operaciones binarias, utilizado para caracterizar autómatas celulares reversibles unidimensionales.

Referencias

  1. 1 2 Evans, Trevor (1967), "Productos de puntos: algunas álgebras simples y sus identidades", The American Mathematical Monthly , 74 (4): 362– 372, doi : 10.2307/2314563 , JSTOR 2314563 , MR 0209382  
  2. 1 2 3 4 Knuth, Donald E. (1970), "Notas sobre grupoides centrales", Journal of Combinatorial Theory , 8 (4): 376– 390, doi : 10.1016/S0021-9800(70)80032-1 , MR 0259000 
  3. ↑ Curtis, Frank; Drew, John; Li, Chi-Kwong; Pragel, Daniel (2004), "Grupoides centrales, digrafos centrales y matrices cero-uno A que satisfacen A 2 = J ", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 105 (1): 35–50 , doi : 10.1016/j.jcta.2003.10.001 , MR 2030138 
  4. ↑ Shader, Leslie E. (1974), "Sobre la existencia de grupoides centrales finitos de todos los rangos posibles, I", Journal of Combinatorial Theory, Series A , 16 (2): 221– 229, doi : 10.1016/0097-3165(74)90047-8 , MR 0335546 
  5. ↑ "Problemas de investigación", Journal of Combinatorial Theory , 2 (3): 393, mayo de 1967, doi : 10.1016/s0021-9800(67)80037-1; véase el problema 2–11, "una ecuación en matrices".
  6. 1 2 3 4 Knuth, Donald E. ; Bendix, Peter B. (1970), "Problemas verbales simples en álgebras universales", en Leech, John (ed.), Problemas computacionales en álgebra abstracta: Actas de una conferencia celebrada en Oxford bajo los auspicios del Consejo de Investigación Científica, Laboratorio de Computación Atlas, del 29 de agosto al 2 de septiembre de 1967 , Pergamon, pp. 263–297 , MR 0255472  

Lecturas adicionales

  • Kündgen, André; Leander, Gregor; Thomassen, Carsten (2011), "Intercambios, extensiones y reducciones en digrafos centrales", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 118 (7): 2025–2034 , doi : 10.1016/j.jcta.2011.03.009 , MR 2802184 
  • Tao, Terence ; Monticone, Pietro; Srinivas, Shreyas, eds. (1 de junio de 2025), "Ecuación 168: La ley del grupoide central" , Proyecto de Teorías Ecuacionales , consultado el 1 de junio de 2025.