Problema clásico de fuerza central

En mecánica clásica, el problema de la fuerza central consiste en determinar el movimiento de una partícula en un único campo de potencial central . Una fuerza central es una fuerza (posiblemente negativa) que apunta desde la partícula directamente hacia un punto fijo en el espacio, el centro, y cuya magnitud depende únicamente de la distancia del objeto al centro. En unos pocos casos importantes, el problema se puede resolver analíticamente, es decir, en términos de funciones bien estudiadas, como las funciones trigonométricas .

La solución de este problema es importante para la mecánica clásica , ya que muchas fuerzas que ocurren naturalmente son centrales. Algunos ejemplos incluyen la gravedad y el electromagnetismo, como se describe en la ley de gravitación universal de Newton y la ley de Coulomb , respectivamente. El problema también es importante porque algunos problemas más complicados de la física clásica (como el problema de los dos cuerpos con fuerzas a lo largo de la línea que conecta los dos cuerpos) se pueden reducir a un problema de fuerza central. Finalmente, la solución al problema de la fuerza central a menudo constituye una buena aproximación inicial del movimiento verdadero, como en el cálculo del movimiento de los planetas en el Sistema Solar .

La esencia del problema de la fuerza central es resolver la posición r ^{[nota 1]} de una partícula que se mueve bajo la influencia de una fuerza central F , ya sea en función del tiempo t o en función del ángulo φ relativo al centro de fuerza y ​​un eje arbitrario.

Una fuerza central conservativa F tiene dos propiedades definitorias. ^[1] En primer lugar, debe impulsar partículas directamente hacia o desde un punto fijo en el espacio, el centro de fuerza, que a menudo se denomina O. En otras palabras, una fuerza central debe actuar a lo largo de la línea que une O con la posición actual de la partícula. En segundo lugar, una fuerza central conservativa depende únicamente de la distancia r entre O y la partícula en movimiento; no depende explícitamente del tiempo ni de otros descriptores de posición.

Esta doble definición puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera. El centro de fuerza O puede elegirse como el origen de un sistema de coordenadas. El vector r que une O con la posición actual de la partícula se conoce como vector de posición . Por lo tanto, una fuerza central debe tener la forma matemática ^[2] donde r es la magnitud del vector | r | (la distancia al centro de fuerza) y r̂ = r /r es el vector unitario correspondiente . Según la segunda ley del movimiento de Newton , la fuerza central F genera una aceleración paralela a escalada por la masa m de la partícula ^{[nota 2]}$${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}=m\mathbf {a} =m{\ddot {\mathbf {r} }}}$$

Para las fuerzas de atracción, F ( r ) es negativa, porque actúa para reducir la distancia r al centro. Por el contrario, para las fuerzas de repulsión, F ( r ) es positiva.

Si la fuerza central es una fuerza conservativa , entonces la magnitud F ( r ) de una fuerza central siempre se puede expresar como la derivada de una función de energía potencial independiente del tiempo U ( r ) ^[3] $${\displaystyle F(r)=-{\frac {dU}{dr}}}$$

Por lo tanto, la energía total de la partícula (la suma de su energía cinética y su energía potencial U ) es constante; se dice que la energía se conserva . Para demostrarlo, basta con que el trabajo W realizado por la fuerza dependa únicamente de las posiciones inicial y final, no del camino recorrido entre ellas.

$${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}F(r){\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =\int _{r_{1}}^{r_{2}}Fdr=U(r_{1})-U(r_{2})}$$

De manera equivalente, basta que el rizo del campo de fuerza F sea cero; utilizando la fórmula para el rizo en coordenadas esféricas , porque las derivadas parciales son cero para una fuerza central; la magnitud F no depende de las coordenadas esféricas angulares θ y φ. $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial F}{\partial \varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial F}{\partial \theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=0}$$

Como el potencial escalar V ( r ) depende únicamente de la distancia r al origen, tiene simetría esférica . En este sentido, el problema de la fuerza central es análogo a las geodésicas de Schwarzschild en la relatividad general y a los tratamientos mecánicos cuánticos de partículas en potenciales de simetría esférica .

Si la velocidad inicial v de la partícula está alineada con el vector de posición r , entonces el movimiento permanece para siempre en la línea definida por r . Esto se debe a que la fuerza (y, según la segunda ley de Newton, también la aceleración a ) también está alineada con r . Para determinar este movimiento, basta con resolver la ecuación $${\displaystyle m{\ddot {r}}=F(r)}$$

Un método de solución es utilizar la conservación de la energía total. $${\displaystyle |{\dot {r}}|={\Big |}{\frac {dr}{dt}}{\Big |}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\text{tot}}-U(r)}}}$$

Tomando el recíproco e integrando obtenemos: $${\displaystyle |t-t_{0}|={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int {\frac {|dr|}{\sqrt {E_{\text{tot}}-U(r)}}}}$$

Durante el resto del artículo, se supone que la velocidad inicial v de la partícula no está alineada con el vector de posición r , es decir, que el vector de momento angular L = r × m v no es cero.

Toda fuerza central puede producir un movimiento circular uniforme, siempre que el radio inicial r y la velocidad v satisfagan la ecuación de la fuerza centrípeta. $${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{r}}=F(r)}$$

Si esta ecuación se satisface en los momentos iniciales, se satisfará en todos los momentos posteriores; la partícula continuará moviéndose en un círculo de radio r a una velocidad v para siempre.

El problema de la fuerza central se refiere a una situación ideal (un "problema de un cuerpo") en el que una única partícula es atraída o repelida desde un punto inamovible O , el centro de fuerza. ^[4] Sin embargo, las fuerzas físicas se dan generalmente entre dos cuerpos; y por la tercera ley de Newton, si el primer cuerpo aplica una fuerza sobre el segundo, el segundo cuerpo aplica una fuerza igual y opuesta sobre el primero. Por lo tanto, ambos cuerpos se aceleran si hay una fuerza presente entre ellos; no hay un centro de fuerza perfectamente inamovible. Sin embargo, si un cuerpo es abrumadoramente más masivo que el otro, su aceleración relativa al otro puede ser descuidada; el centro del cuerpo más masivo puede ser tratado como aproximadamente fijo. ^[5] Por ejemplo, el Sol es abrumadoramente más masivo que el planeta Mercurio; por lo tanto, el Sol puede ser aproximado como un centro de fuerza inamovible, reduciendo el problema al movimiento de Mercurio en respuesta a la fuerza aplicada por el Sol. En realidad, sin embargo, el Sol también se mueve (aunque solo ligeramente) en respuesta a la fuerza aplicada por el planeta Mercurio.

Sin embargo, estas aproximaciones son innecesarias. Las leyes de movimiento de Newton permiten convertir cualquier problema clásico de dos cuerpos en un problema exacto correspondiente de un cuerpo. ^[6] Para demostrar esto, sean x ₁ y x ₂ las posiciones de las dos partículas, y sea r = x ₁ − x ₂ su posición relativa. Entonces, por la segunda ley de Newton, $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{21}}$$

La ecuación final se deriva de la tercera ley de Newton ; la fuerza del segundo cuerpo sobre el primero ( F ₂₁ ) es igual y opuesta a la fuerza del primer cuerpo sobre el segundo ( F ₁₂ ). Por lo tanto, la ecuación de movimiento para r se puede escribir en la forma donde es la masa reducida$${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} }$$${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$$

Como caso especial, el problema de dos cuerpos que interactúan mediante una fuerza central puede reducirse a un problema de fuerza central de un cuerpo.

El movimiento de una partícula bajo una fuerza central F siempre permanece en el plano definido por su posición inicial y velocidad. ^[7] Esto se puede ver por simetría. Dado que la posición r , la velocidad v y la fuerza F se encuentran todas en el mismo plano, nunca hay una aceleración perpendicular a ese plano, porque eso rompería la simetría entre "encima" del plano y "debajo" del plano.

Para demostrarlo matemáticamente, basta con mostrar que el momento angular de la partícula es constante. Este momento angular L se define mediante la ecuación donde m es la masa de la partícula y p es su momento lineal . En esta ecuación, el símbolo × indica el producto vectorial , no la multiplicación. Por lo tanto, el vector de momento angular L es siempre perpendicular al plano definido por el vector de posición r y el vector de velocidad v de la partícula . ^{[nota 3]}$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$$

En general, la tasa de cambio del momento angular L es igual al par neto r × F ^[8] $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}$$

El primer término m v × v es siempre cero, porque el producto vectorial es siempre cero para dos vectores cualesquiera que apunten en la misma dirección o en direcciones opuestas. Sin embargo, cuando F es una fuerza central, el término restante r × F también es cero porque los vectores r y F apuntan en la misma dirección o en direcciones opuestas. Por lo tanto, el vector de momento angular L es constante. Entonces $${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {p} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {r} )=0}$$

En consecuencia, la posición de la partícula r (y, por tanto, la velocidad v ) siempre se encuentra en un plano perpendicular a L. ^[9]

Dado que el movimiento es plano y la fuerza radial, se acostumbra cambiar a coordenadas polares . ^[9] En estas coordenadas, el vector de posición r se representa en términos de la distancia radial r y el ángulo azimutal φ .

$${\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$$

Al tomar la primera derivada con respecto al tiempo se obtiene el vector de velocidad de la partícula v $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )}$$

De manera similar, la segunda derivada de la posición r de la partícula es igual a su aceleración a $${\displaystyle \mathbf {a} ={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$$

La velocidad v y la aceleración a se pueden expresar en términos de los vectores unitarios radial y azimutal. El vector unitario radial se obtiene dividiendo el vector de posición r por su magnitud r , como se describió anteriormente. $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$$

El vector unitario azimutal viene dado por ^{[nota 4]} $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )}$$

Por lo tanto, la velocidad se puede escribir como mientras que la aceleración es igual a $${\displaystyle \mathbf {v} =v_{r}\mathbf {\hat {r}} +v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$$${\displaystyle \mathbf {a} =a_{r}\mathbf {\hat {r}} +a_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})\mathbf {\hat {r}} +(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$

Dado que F = m a según la segunda ley de movimiento de Newton y dado que F es una fuerza central, entonces solo el componente radial de la aceleración a puede ser distinto de cero; el componente angular a _φ debe ser cero. $${\displaystyle a_{\varphi }=2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}=0}$$

Por lo tanto, $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right)=r(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }})=ra_{\varphi }=0}$$

Esta expresión entre paréntesis se suele denotar h $${\displaystyle h=r^{2}{\dot {\varphi }}=rv_{\varphi }=\left|\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right|=vr_{\perp }={\frac {L}{m}}}$$

que es igual a la velocidad v por r _⊥ , el componente del radio vector perpendicular a la velocidad. h es la magnitud del momento angular específico porque es igual a la magnitud L del momento angular dividido por la masa m de la partícula.

Para abreviar, la velocidad angular a veces se escribe ω $${\displaystyle \omega ={\dot {\varphi }}={\frac {d\varphi }{dt}}}$$

Sin embargo, no se debe suponer que ω es constante. Como h es constante, ω varía con el radio r según la fórmula ^[10] $${\displaystyle \omega ={\frac {h}{r^{2}}}}$$

Dado que h es constante y r ² es positivo, el ángulo φ cambia monótonamente en cualquier problema de fuerza central, ya sea aumentando continuamente ( h positivo) o disminuyendo continuamente ( h negativo). ^[11]

La magnitud de h también es igual al doble de la velocidad del área , que es la tasa a la que el área está siendo barrida por la partícula en relación con el centro. ^[12] Por lo tanto, la velocidad del área es constante para una partícula sobre la que actúa cualquier tipo de fuerza central; esta es la segunda ley de Kepler . ^[13] Por el contrario, si el movimiento bajo una fuerza conservativa F es plano y tiene velocidad del área constante para todas las condiciones iniciales del radio r y velocidad v , entonces la aceleración azimutal a _φ siempre es cero. Por lo tanto, por la segunda ley de Newton, F = m a , la fuerza es una fuerza central.

La constancia de la velocidad superficial puede ilustrarse mediante el movimiento circular y lineal uniforme. En el movimiento circular uniforme, la partícula se mueve con velocidad constante v alrededor de la circunferencia de un círculo de radio r . Dado que la velocidad angular ω = v / r es constante, el área barrida en un tiempo Δ t es igual a ω r ² Δ ​​t ; por lo tanto, se barren áreas iguales en tiempos iguales Δ t . En el movimiento lineal uniforme (es decir, el movimiento en ausencia de una fuerza, por la primera ley de movimiento de Newton), la partícula se mueve con velocidad constante, es decir, con velocidad constante v a lo largo de una línea. En un tiempo Δ t , la partícula barre un área 1 ⁄ 2 v Δ tr _⊥ (el parámetro de impacto ). ^{[nota 5]} La distancia r _⊥ no cambia a medida que la partícula se mueve a lo largo de la línea; representa la distancia de aproximación más cercana de la línea al centro O (el parámetro de impacto ). Como la velocidad v tampoco cambia, la velocidad superficial 1 ⁄ 2 vr _⊥ es una constante de movimiento; la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales.

Mediante una transformación de variables, ^[14] cualquier problema de fuerza central se puede convertir en un problema de fuerza paralela equivalente. ^{[nota 6]} En lugar de las coordenadas cartesianas x e y ordinarias, se definen dos nuevas variables de posición ξ = x / y y η = 1/ y , así como una nueva coordenada de tiempo τ $${\displaystyle \tau =\int {\frac {dt}{y^{2}}}}$$

Las ecuaciones de movimiento correspondientes para ξ y η están dadas por $${\displaystyle {\frac {d\xi }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {x}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=\left({\frac {{\dot {x}}y-{\dot {y}}x}{y^{2}}}\right)y^{2}=-h}$$ $${\displaystyle {\frac {d\eta }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=-{\frac {\dot {y}}{y^{2}}}y^{2}=-{\dot {y}}}$$

Como la tasa de cambio de ξ es constante, su segunda derivada es cero $${\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=0}$$

Como esta es la aceleración en la dirección ξ y como F = ma según la segunda ley de Newton, se deduce que la fuerza en la dirección ξ es cero. Por lo tanto, la fuerza solo está a lo largo de la dirección η , que es el criterio para un problema de fuerzas paralelas. Explícitamente, la aceleración en la dirección η es igual a porque la aceleración en la dirección y es igual a $${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}={\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\eta }{d\tau }}\right)=-y^{2}{\ddot {y}}=-{\frac {y^{3}}{mr}}F(r)}$$$${\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {1}{m}}F_{y}={\frac {1}{m}}F(r)\,{\frac {y}{r}}}$$

Aquí, F _y denota el componente y de la fuerza central, y y / r es igual al coseno del ángulo entre el eje y y el vector radial r .

Como una fuerza central F actúa únicamente a lo largo del radio, únicamente el componente radial de la aceleración es distinto de cero. Según la segunda ley de movimiento de Newton, la magnitud de F es igual a la masa m de la partícula multiplicada por la magnitud de su aceleración radial ^[15]. $${\displaystyle F(r)=m{\ddot {r}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {mh^{2}}{r^{3}}}}$$

Esta ecuación tiene factor de integración${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F(r)\,dr&=F(r){\frac {dr}{dt}}\,dt\\&=m\left({\frac {dr}{dt}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {h^{2}}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\right)\,dt\\&={\frac {m}{2}}\,d\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$$

Integración de rendimientos $${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {m}{2}}\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]}$$

Si h no es cero, la variable independiente se puede cambiar de t a ϕ ^[16] dando la nueva ecuación de movimiento ^[17]$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}=\omega {\frac {d}{d\varphi }}={\frac {h}{r^{2}}}{\frac {d}{d\varphi }}}$$ $${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {mh^{2}}{2}}\left[\left(-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {1}{r}}\right)^{2}\right]}$$

Haciendo el cambio de variables al radio inverso u = 1/ r ^[17] se obtiene

donde C es una constante de integración y la función G ( u ) está definida por $${\displaystyle G(u)=-{\frac {2}{mh^{2}}}\int ^{\frac {1}{u}}F(r)\,dr}$$

Esta ecuación se vuelve cuasilineal al diferenciarla por ϕ $${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {1}{mh^{2}u^{2}}}F(1/u)}$$

Esto se conoce como ecuación de Binet . La integración de ( 1 ) da como resultado la solución para ϕ ^[18] donde ϕ ₀ es otra constante de integración. Se dice que un problema de fuerza central es "integrable" si esta integración final se puede resolver en términos de funciones conocidas. $${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{\frac {1}{r}}{\frac {du}{\sqrt {C-u^{2}-G(u)}}}}$$

Tome el producto escalar de la segunda ley de movimiento de Newton con la velocidad de la partícula donde la fuerza se obtiene de la energía potencial da donde se supone la suma sobre el índice cartesiano espacial y hemos utilizado el hecho de que y hemos utilizado la regla de la cadena . Reordenando El término entre paréntesis en el lado izquierdo es una constante, etiquételo con , la energía mecánica total. Claramente, esta es la suma de la energía cinética y la energía potencial. ^[19]$${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )\qquad \left/\;\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right.}$$$${\displaystyle m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}m{\frac {d}{dt}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right)=-{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )=-\sum _{i=1}^{3}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}={\frac {dU}{dt}}}$$${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\ddot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}+{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}=2{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}U(x,y,z)=\sum _{i}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )\right)=0}$$${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }}$

Además, si el potencial es central, y por lo tanto la fuerza va a lo largo de la dirección radial. En este caso, el producto vectorial de la segunda ley de movimiento de Newton con el vector de posición de la partícula debe desaparecer ya que el producto vectorial de dos vectores paralelos es cero: pero (producto vectorial de vectores paralelos), por lo que El término entre paréntesis en el lado izquierdo es una constante, etiquételo con el momento angular, En particular, en coordenadas polares, o Además, , por lo que la ecuación de energía se puede simplificar con el momento angular como Esto indica que el momento angular contribuye con una energía potencial efectiva ^[20] Resuelva esta ecuación para que se puede convertir a la derivada de con respecto al ángulo azimutal como Esta es una ecuación diferencial de primer orden separable. Integrando y se obtiene la fórmula ^[21]${\displaystyle U(x,y,z)=U(r)}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {r} \times m{\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)-\left({\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}=0}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle L=mrv_{\varphi }=r^{2}{\dot {\varphi }}}$$${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {L}{mr^{2}}}}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}^{2}=v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}={\dot {r}}^{2}+(r{\dot {\varphi }})^{2}}$$${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+U(r)={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+U_{\mathrm {eff} }(r)}$$ $${\displaystyle U_{\mathrm {eff} }(r)=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$$${\displaystyle {\dot {r}}}$ $${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle {\frac {dr}{d\varphi }}={\frac {dr/dt}{d\varphi /dt}}={\frac {\dot {r}}{\dot {\varphi }}}={\frac {mr^{2}}{L}}{\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}$$ $${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}}}$$

Cambiando la variable de integración al radio inverso se obtiene la integral ^[22] que expresa las constantes anteriores C = 2 mE _tot / L ² y G ( u ) = 2 mU (1/ u )/ L ² en términos de la energía total E _tot y la energía potencial U ( r ). $${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}E_{\mathrm {tot} }-{\frac {2m}{L^{2}}}U(1/u)-u^{2}}}}}$$

La tasa de cambio de r es cero siempre que la energía potencial efectiva sea igual a la energía total ^[23] $${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$$

Los puntos donde se satisface esta ecuación se conocen como puntos de giro . ^[23] La órbita a cada lado de un punto de giro es simétrica; en otras palabras, si el ángulo azimutal se define de manera que φ = 0 en el punto de giro, entonces la órbita es la misma en direcciones opuestas, r ( φ ) = r (− φ ). ^[24]

Si hay dos puntos de giro tales que el radio r está limitado entre r _min y r _max , entonces el movimiento está contenido dentro de un anillo de esos radios. ^[23] Como el radio varía de un punto de giro al otro, el cambio en el ángulo azimutal φ es igual a ^[23] $${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int _{r_{\min }}^{r_{\max }}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$$

La órbita se cerrará sobre sí misma ^{[nota 7]} siempre que Δφ sea igual a una fracción racional de 2 π , es decir, ^[23] donde m y n son números enteros. En ese caso, el radio oscila exactamente m veces mientras que el ángulo azimutal φ hace exactamente n revoluciones. En general, sin embargo, Δφ/2π no será un número racional y, por lo tanto, la órbita no estará cerrada. En ese caso, la partícula eventualmente pasará arbitrariamente cerca de cada punto dentro del anillo. Dos tipos de fuerza central siempre producen órbitas cerradas: F ( r ) = α r (una fuerza lineal) y F ( r ) = α/ r ² (una ley del cuadrado inverso ). Como lo mostró Bertrand, estas dos fuerzas centrales son las únicas que garantizan órbitas cerradas. ^[25]$${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi {\frac {m}{n}}}$$

En general, si el momento angular L es distinto de cero, el término L ² /2 mr ² impide que la partícula caiga al origen, a menos que la energía potencial efectiva vaya a menos infinito en el límite de r que tiende a cero. ^[26] Por lo tanto, si hay un único punto de giro, la órbita generalmente tiende al infinito; el punto de giro corresponde a un punto de radio mínimo.

En física clásica , muchas fuerzas importantes siguen una ley de cuadrado inverso, como la gravedad o la electrostática . La forma matemática general de estas fuerzas centrales de cuadrado inverso es para una constante , que es negativa para una fuerza atractiva y positiva para una repulsiva. $${\displaystyle F={\frac {\alpha }{r^{2}}}=\alpha u^{2}}$$${\displaystyle \alpha }$

Este caso especial del problema clásico de fuerza central se denomina problema de Kepler . Para una fuerza de inverso del cuadrado, la ecuación de Binet derivada anteriormente es lineal $${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}.}$$

La solución de esta ecuación es , lo que demuestra que la órbita es una sección cónica de excentricidad e ; aquí, φ ₀ es el ángulo inicial y el centro de fuerza está en el foco de la sección cónica. Utilizando la fórmula del semiángulo para el seno , esta solución también se puede escribir como $${\displaystyle u(\varphi )=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}\left[1+e\cos \left(\varphi -\varphi _{0}\right)\right]}$$$${\displaystyle u(\varphi )=u_{1}+(u_{2}-u_{1})\sin ^{2}\left({\frac {\varphi -\varphi _{0}}{2}}\right)}$$

donde u ₁ y u ₂ son constantes, siendo u ₂ mayor que u ₁ . Las dos versiones de la solución están relacionadas por las ecuaciones y $${\displaystyle u_{1}+u_{2}={\frac {-2\alpha }{mh^{2}}}}$$$${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$$

Como la función sen ² es siempre mayor que cero, u ₂ es el mayor valor posible de u y el inverso del menor valor posible de r , es decir, la distancia de aproximación más cercana ( periapsis ). Como la distancia radial r no puede ser un número negativo, tampoco puede serlo su inversa u ; por lo tanto, u ₂ debe ser un número positivo. Si u ₁ también es positivo, es el menor valor posible de u , que corresponde al mayor valor posible de r , la distancia de aproximación más lejana ( apoapsis ). Si u ₁ es cero o negativo, entonces el menor valor posible de u es cero (la órbita tiende al infinito); en este caso, los únicos valores relevantes de φ son aquellos que hacen que u sea positivo.

Para una fuerza de atracción (α < 0), la órbita es una elipse , una hipérbola o una parábola , según que u ₁ sea positiva, negativa o nula, respectivamente; esto corresponde a una excentricidad e menor que uno, mayor que uno o igual a uno. Para una fuerza de repulsión (α > 0), u ₁ debe ser negativa, ya que u ₂ es positiva por definición y su suma es negativa; por lo tanto, la órbita es una hipérbola. Naturalmente, si no hay ninguna fuerza presente (α=0), la órbita es una línea recta.

La ecuación de Binet para u ( φ ) se puede resolver numéricamente para casi cualquier fuerza central F (1/ u ). Sin embargo, solo un puñado de fuerzas dan como resultado fórmulas para u en términos de funciones conocidas. Como se dedujo anteriormente, la solución para φ se puede expresar como una integral sobre u $${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}}$$

Se dice que un problema de fuerza central es "integrable" si esta integración puede resolverse en términos de funciones conocidas.

Si la fuerza es una ley de potencia, es decir, si F ( r ) = α r ⁿ , entonces u puede expresarse en términos de funciones circulares y/o funciones elípticas si n es igual a 1, -2, -3 (funciones circulares) y -7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 y -7/3 (funciones elípticas). ^[27] De manera similar, solo seis posibles combinaciones lineales de leyes de potencia dan soluciones en términos de funciones circulares y elípticas ^{[28] [29]} $${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{3}+Dr^{5}}$$ $${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{-5}+Dr^{-7}}$$ $${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr+D}$$ $${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-4}+Dr^{-5}}$$ $${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-3/2}+Dr^{-5/2}}$$ $${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-1/3}+Cr^{-5/3}+Dr^{-7/3}}$$

Los siguientes casos especiales de los dos primeros tipos de fuerza siempre resultan en funciones circulares. $${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br}$$ $${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}}$$

El caso especial fue mencionado por Newton, en el corolario 1 de la proposición VII de los principia, como la fuerza implicada en las órbitas circulares que pasan por el punto de atracción. $${\displaystyle F(r)=Ar^{-5}}$$

El término r ⁻³ aparece en todas las leyes de fuerza anteriores, lo que indica que la adición de la fuerza inversa del cubo no influye en la solubilidad del problema en términos de funciones conocidas. Newton demostró que, con ajustes en las condiciones iniciales, la adición de dicha fuerza no afecta el movimiento radial de la partícula, sino que multiplica su movimiento angular por un factor constante k . Mahomed y Vawda descubrieron una extensión del teorema de Newton en 2000. ^[29]

Supongamos que una partícula se mueve bajo una fuerza central arbitraria F ₁ ( r ), y denotemos su radio r y ángulo azimutal φ como r ( t ) y φ ₁ ( t ) en función del tiempo t . Ahora consideremos una segunda partícula con la misma masa m que comparte el mismo movimiento radial r ( t ), pero cuya velocidad angular es k veces más rápida que la de la primera partícula. En otras palabras, los ángulos azimutales de las dos partículas están relacionados por la ecuación φ ₂ ( t ) = k  φ ₁ ( t ). Newton demostró que la fuerza que actúa sobre la segunda partícula es igual a la fuerza F ₁ ( r ) que actúa sobre la primera partícula, más una fuerza central inversa del cubo ^[30] donde L ₁ es la magnitud del momento angular de la primera partícula . $${\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)}$$

Si k ² es mayor que uno, F ₂ − F ₁ es un número negativo; por lo tanto, la fuerza inversa del cubo agregada es atractiva . Por el contrario, si k ² es menor que uno, F ₂ − F ₁ es un número positivo; la fuerza inversa del cubo agregada es repulsiva . Si k es un número entero como 3, se dice que la órbita de la segunda partícula es un armónico de la órbita de la primera partícula; por el contrario, si k es el inverso de un número entero, como 1 ⁄ 3 , se dice que la segunda órbita es un subarmónico de la primera órbita.

El problema clásico de la fuerza central fue resuelto geométricamente por Isaac Newton en su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , en la que Newton introdujo sus leyes del movimiento . Newton utilizó un equivalente de la integración de saltos para convertir el movimiento continuo en uno discreto, de modo que se puedan aplicar métodos geométricos. En este enfoque, la posición de la partícula se considera solo en puntos de tiempo espaciados uniformemente. A modo de ilustración, la partícula de la Figura 10 está ubicada en el punto A en el tiempo t  = 0, en el punto B en el tiempo t  = Δ t , en el punto C en el tiempo t  = 2Δ t , y así sucesivamente para todos los tiempos t  =  n Δ t , donde n es un número entero. Se supone que la velocidad es constante entre estos puntos de tiempo. Por lo tanto, el vector r _AB  =  r _B  −  r _A es igual a Δ t por el vector de velocidad v _AB (línea roja), mientras que r _BC  =  r _C  −  r _B es igual a v _BC Δ t (línea azul). Como la velocidad es constante entre puntos, se supone que la fuerza actúa instantáneamente en cada nueva posición; por ejemplo, la fuerza que actúa sobre la partícula en el punto B cambia instantáneamente la velocidad de v _AB a v _BC . El vector de diferencia Δ r  =  r _BC  −  r _AB es igual a Δ v Δ t (línea verde), donde Δ v  =  v _BC  −  v _AB es el cambio en la velocidad resultante de la fuerza en el punto B . Como la aceleración a es paralela a Δ v y como F  =  m a , la fuerza F debe ser paralela a Δ v y Δ r . Si F es una fuerza central, debe ser paralela al vector r _B desde el centro O hasta el punto B (línea verde discontinua); En ese caso, Δ r también es paralelo a r _B.

Si no actúa ninguna fuerza en el punto B , la velocidad no cambia y la partícula llega al punto K en el tiempo t  = 2Δ t . Las áreas de los triángulos OAB y OBK son iguales, porque comparten la misma base ( r _AB ) y altura ( r _⊥ ). Si Δ r es paralelo a r _B , los triángulos OBK y OBC también son iguales, porque comparten la misma base ( r _B ) y la altura no cambia. En ese caso, las áreas de los triángulos OAB y OBC son las mismas y la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales. Por el contrario, si las áreas de todos esos triángulos son iguales, entonces Δ r debe ser paralelo a r _B , de lo que se deduce que F es una fuerza central. Por lo tanto, una partícula barre áreas iguales en tiempos iguales si y solo si F es una fuerza central.

La fórmula para la fuerza radial también se puede obtener utilizando la mecánica de Lagrange . En coordenadas polares, el Lagrange L de una sola partícula en un campo de energía potencial U ( r ) se da por $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}-U(r)}$$

Entonces las ecuaciones de movimiento de Lagrange toman la forma ya que la magnitud F ( r ) de la fuerza radial es igual a la derivada negativa de la energía potencial U ( r ) en la dirección radial. $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial r}}}$$$${\displaystyle m{\ddot {r}}=mr{\dot {\varphi }}^{2}-{\frac {dU}{dr}}={\frac {mh^{2}}{r^{3}}}+F(r)}$$

La fórmula de fuerza radial también se puede derivar utilizando la mecánica hamiltoniana . En coordenadas polares, el hamiltoniano se puede escribir como $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}}}\right)+U(r)}$$

Como el ángulo acimutal φ no aparece en el hamiltoniano, su momento conjugado p _φ es una constante del movimiento. Este momento conjugado es la magnitud L del momento angular, como lo demuestra la ecuación de movimiento hamiltoniana para φ $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{\varphi }}}={\frac {p_{\varphi }}{mr^{2}}}={\frac {L}{mr^{2}}}}$$

La ecuación de movimiento correspondiente para r es $${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{r}}}={\frac {p_{r}}{m}}}$$

Tomando la segunda derivada de r con respecto al tiempo y utilizando la ecuación de movimiento de Hamilton para p _r se obtiene la ecuación de fuerza radial $${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {1}{m}}{\frac {dp_{r}}{dt}}=-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\partial H}{\partial r}}\right)={\frac {p_{\varphi }^{2}}{m^{2}r^{3}}}-{\frac {1}{m}}{\frac {dU}{dr}}={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}+{\frac {1}{m}}F(r)}$$

La ecuación orbital se puede derivar directamente de la ecuación de Hamilton-Jacobi . ^[31] Adoptando la distancia radial r y el ángulo azimutal φ como coordenadas, la ecuación de Hamilton-Jacobi para un problema de fuerza central se puede escribir donde S = S _φ ( φ ) + S _r ( r ) − E _tot t es la función principal de Hamilton , y E _tot y t representan la energía total y el tiempo, respectivamente. Esta ecuación se puede resolver mediante integraciones sucesivas de ecuaciones diferenciales ordinarias , comenzando con la ecuación φ donde p _φ es una constante del movimiento igual a la magnitud del momento angular L . Por lo tanto, S _φ (φ) = L φ y la ecuación de Hamilton-Jacobi se convierte en $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left({\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}\right)^{2}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$$$${\displaystyle {\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}=p_{\varphi }=L}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$$

Integrando esta ecuación para S _r obtenemos $${\displaystyle S_{r}(r)={\sqrt {2m}}\int dr{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}$$

Tomando la derivada de S con respecto a L se obtiene la ecuación orbital derivada anteriormente. $${\displaystyle \varphi _{0}={\frac {\partial S}{\partial L}}={\frac {\partial S_{\varphi }}{\partial L}}+{\frac {\partial S_{r}}{\partial L}}=\varphi -{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$$

• Geodésicas de Schwarzschild , el análogo en la relatividad general
• Partícula en un potencial simétrico esférico , el análogo en mecánica cuántica
• Átomo similar al hidrógeno , el problema de Kepler en mecánica cuántica
• Potencial cuadrado inverso

• Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Landau, LD y Lifshitz, EM (1976). Mecánica . Curso de física teórica (3.ª ed.). Nueva York: Pergamon Press. ISBN 0-08-029141-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Misner, CW , Thorne, K. y Wheeler, JA (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Sommerfeld, A. (1970). Mecánica . Lecciones de física teórica . Vol. I (4.ª ed.). Nueva York: Academic Press. ISBN. 978-0-12-654670-5.
• Symon KR (1971). Mecánica (3.ª ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7.
• Whittaker, ET (1937). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, con una introducción al problema de los tres cuerpos (4.ª ed.). Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-521-35883-5.

• Problemas de fuerza central de dos cuerpos por DE Gary del Instituto de Tecnología de Nueva Jersey
• Movimiento en un campo de fuerza central Archivado el 21 de septiembre de 2018 en Wayback Machine por A. Brizard de Saint Michael's College
• Movimiento bajo la influencia de una fuerza central por GW Collins, II de la Universidad Case Western Reserve
• Conferencia en vídeo de WHG Lewin del Instituto Tecnológico de Massachusetts