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Articulo de referencia

Tensor de energía potencial de Chandrasekhar

En astrofísica , el tensor de energía potencial de Chandrasekhar proporciona el potencial gravitacional de un cuerpo debido a su propia gravedad creada por la distribución de ma...

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En astrofísica , el tensor de energía potencial de Chandrasekhar proporciona el potencial gravitacional de un cuerpo debido a su propia gravedad creada por la distribución de materia a través del cuerpo, llamado así por el astrofísico indio estadounidense Subrahmanyan Chandrasekhar . [1] [2] [3] El tensor de Chandrasekhar es una generalización de la energía potencial; en otras palabras, la traza del tensor de Chandrasekhar proporciona la energía potencial del cuerpo.

Definición

El tensor de energía potencial de Chandrasekhar se define como

Yo i yo = − 1 2 ∫ V ρ Φ i yo d incógnita = ∫ V ρ incógnita i ∂ Φ ∂ incógnita yo d incógnita {\displaystyle W_{ij}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{ i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} }

dónde

Φ i yo ( incógnita ) = GRAMO ∫ V ρ ( incógnita " ) ( incógnita i − incógnita i " ) ( incógnita yo − incógnita yo " ) | incógnita − incógnita " | 3 d incógnita " , ⇒ Φ i i = Φ = GRAMO ∫ V ρ ( incógnita " ) | incógnita − incógnita " | d incógnita " {\displaystyle \Phi _{ij}(\mathbf {x} )=G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}') (x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} ,\quad \Rightarrow \quad \Phi _{ii}=\Phi =G\int _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}d\mathbf {x'} }

dónde

  • GRAMO {\estilo de visualización G} es la constante gravitacional
  • Φ ( incógnita ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )} es el potencial autogravitante de la ley de gravedad de Newton
  • Φ i yo {\displaystyle \Phi _{ij}} es la versión generalizada de Φ {\estilo de visualización \Phi}
  • ρ ( incógnita ) {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )} ¿Es la distribución de densidad de materia?
  • V {\estilo de visualización V} es el volumen del cuerpo

Es evidente que es un tensor simétrico por su definición. La traza del tensor de Chandrasekhar no es otra cosa que la energía potencial . Yo i yo Estilo de visualización W_ {ij}} Yo i yo Estilo de visualización W_ {ij}} Yo {\estilo de visualización W}

Yo = Yo i i = − 1 2 ∫ V ρ Φ d incógnita = ∫ V ρ incógnita i ∂ Φ ∂ incógnita i d incógnita {\displaystyle W=W_{ii}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}d\mathbf {x} }

Por lo tanto, el tensor de Chandrasekhar puede considerarse como la generalización de la energía potencial. [4]

La prueba de Chandrasekhar

Consideremos una cuestión de volumen con densidad . Por lo tanto V {\estilo de visualización V} ρ ( incógnita ) {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}

Yo i yo = − 1 2 ∫ V ρ Φ i yo d incógnita = − 1 2 GRAMO ∫ V ∫ V ρ ( incógnita ) ρ ( incógnita " ) ( incógnita i − incógnita i " ) ( incógnita yo − incógnita yo " ) | incógnita − incógnita " | 3 d incógnita " d incógnita = − GRAMO ∫ V ∫ V ρ ( incógnita ) ρ ( incógnita " ) incógnita i ( incógnita yo − incógnita yo " ) | incógnita − incógnita " | 3 d incógnita d incógnita " = GRAMO ∫ V d incógnita ρ ( incógnita ) incógnita i ∂ ∂ incógnita yo ∫ V d incógnita " ρ ( incógnita " ) | incógnita − incógnita " | = ∫ V ρ incógnita i ∂ Φ ∂ incógnita yo d incógnita {\displaystyle {\begin{aligned}W_{ij}&=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} \\&= -{\frac {1}{2}}G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{ i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} d\mathbf {x} \\&=-G\int _ {V}\int _ {V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {x_{i}(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x} d\mathbf {x '} \\&=G\int _{V}d\mathbf {x} \rho (\mathbf {x} )x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\int _{V}d\mathbf {x'} {\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}\\&=\int _ {V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} \end{aligned}}}

Tensor de Chandrasekhar en términos de potencial escalar

El potencial escalar se define como

χ ( incógnita ) = − GRAMO ∫ V ρ ( incógnita " ) | incógnita − incógnita " | d incógnita " {\displaystyle \chi (\mathbf {x} )=-G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} )|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |d\mathbf {x '} }

Entonces Chandrasekhar [5] demuestra que

Yo i yo = del i yo Yo + ∂ 2 χ ∂ incógnita i ∂ incógnita yo {\displaystyle W_{ij}=\delta _{ij}W+{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}

Al establecer obtenemos , tomando nuevamente el Laplaciano , obtenemos . i = yo {\displaystyle i=j} ∇ 2 χ = − 2 Yo {\displaystyle \nabla ^{2}\chi =-2W} ∇ 4 χ = 8 π GRAMO ρ {\displaystyle \nabla ^{4}\chi =8\pi G\rho }

Véase también

Referencias

  1. ^ Chandrasekhar, S; Lebovitz NR (1962). "Los potenciales y superpotenciales de elipsoides homogéneos" (PDF). Ap. J. 136: 1037–1047. Bibcode :1962ApJ...136.1037C. doi :10.1086/147456. Consultado el 24 de marzo de 2012.
  2. ^ Chandrasekhar, S; Fermi E (1953). "Problemas de estabilidad gravitacional en presencia de un campo magnético" (PDF). Ap. J. 118: 116. Bibcode :1953ApJ...118..116C. doi :10.1086/145732. Consultado el 24 de marzo de 2012.
  3. ^ Chandrasekhar, Subrahmanyan. Figuras elipsoidales de equilibrio. Vol. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.
  4. ^ Binney, James; Tremaine, Scott (30 de octubre de 2011). Galactic Dynamics (segunda edición). Princeton University Press . pp. 59–60. ISBN 978-1400828722.
  5. ^ Chandrasekhar, Subrahmanyan. Figuras elipsoidales de equilibrio. Vol. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.
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