Dualidad de estado de canal

En la teoría de la información cuántica , la dualidad canal-estado se refiere a la correspondencia entre canales cuánticos y estados cuánticos (descritos por matrices de densidad ). Dicho de otro modo, la dualidad es el isomorfismo entre aplicaciones completamente positivas (canales) de A a C ^{n × n} , donde A es un álgebra C* y C ^{n × n} denota las entradas complejas n × n , y funcionales lineales positivos ( estados ) en el producto tensorial.

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes A.}$

Sean H₁ y H₂ espacios de Hilbert ( _de dimensión finita). La familia de operadores lineales que actúan sobre Hᵢ _se denotará por L ( Hᵢ ). Consideremos dos sistemas cuánticos, indexados por 1 y 2, cuyos estados son matrices de densidad en L ₍ Hᵢ ) respectivamente. Un canal cuántico , en la representación de Schrödinger _{, es una aplicación lineal completamente positiva (CP) que conserva la} traza .

${\displaystyle \Phi :L(H_{1})\rightarrow L(H_{2})}$

que lleva un estado del sistema 1 a un estado del sistema 2. A continuación, describimos el estado dual correspondiente a Φ.

Sea E _{i j} la matriz unidad cuya entrada ij es 1 y cero en los demás casos. La matriz (de operador)

${\displaystyle \rho _{\Phi }=(\Phi (E_{ij}))_{ij}\in L(H_{1})\otimes L(H_{2})}$

Se denomina matriz de Choi de Φ. Según el teorema de Choi sobre aplicaciones completamente positivas , Φ es CP si y solo si ρ _Φ es positiva (semidefinida). Se puede considerar ρ _Φ como una matriz de densidad y, por lo tanto, como el estado dual de Φ.

La dualidad entre canales y estados se refiere al mapa

${\displaystyle \Phi \rightarrow \rho _ {\Phi },}$

una biyección lineal . Este mapa también se denomina isomorfismo de Jamiołkowski o isomorfismo de Choi-Jamiołkowski .

Este isomorfismo se utiliza para demostrar que los protocolos de distribución de claves cuánticas (QKD) de "preparación y medición", como el protocolo BB84 ideado por CH Bennett y G. Brassard ^{[ 1 ],} son equivalentes a los protocolos QKD " basados ​​en entrelazamiento ", introducidos por AK Ekert ^{[ 2 ]} . Se pueden encontrar más detalles al respecto, por ejemplo, en el libro Teoría de la información cuántica de M. Wilde ^{[ 3 ] .}