La ecuación de Chaplygin

En dinámica de gases , la ecuación de Chaplygin , que lleva el nombre de Sergei Alekseevich Chaplygin (1902), es una ecuación diferencial parcial útil en el estudio del flujo transónico . ^{[ 1 ]} Es

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}$

Aquí,${\displaystyle c=c(v)}$es la velocidad del sonido , determinada por la ecuación de estado del fluido y la conservación de la energía . Para gases politrópicos, tenemos${\displaystyle c^{2}/(\gamma -1)=h_{0}-v^{2}/2}$, dónde${\displaystyle \gamma }$es la relación de calores específicos y${\displaystyle h_{0}}$es la entalpía de estancamiento , en cuyo caso la ecuación de Chaplygin se reduce a

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+v^{2}{\frac {2h_{0}-v^{2}}{2h_{0}-(\gamma +1)v^{2}/(\gamma -1)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}$

La ecuación de Bernoulli (véase la derivación a continuación) establece que la velocidad máxima se produce cuando la entalpía específica es el valor más pequeño posible; se puede tomar la entalpía específica como cero, correspondiente a la temperatura cero absoluta , como valor de referencia, en cuyo caso${\displaystyle 2h_{0}}$es la velocidad máxima alcanzable. Las integrales particulares de la ecuación anterior pueden expresarse en términos de funciones hipergeométricas . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Para el flujo potencial bidimensional , la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Euler (de hecho, la ecuación de Bernoulli compresible debido a la irrotacionalidad) en coordenadas cartesianas${\displaystyle (x,y)}$que involucra las variables velocidad del fluido${\displaystyle (v_{x},v_{y})}$, entalpía específica${\displaystyle h}$y densidad${\displaystyle \rho }$son

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho v_{x})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho v_{y})&=0,\\h+{\frac {1}{2}}v^{2}&=h_{o}.\end{aligned}}}$

con la ecuación de estado${\displaystyle \rho =\rho (s,h)}$actuando como tercera ecuación. Aquí${\displaystyle h_{o}}$es la entalpía de estancamiento,${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$es la magnitud del vector velocidad y${\displaystyle s}$es la entropía. Para un flujo isoentrópico , la densidad puede expresarse como una función únicamente de la entalpía.${\displaystyle \rho =\rho (h)}$, que a su vez, utilizando la ecuación de Bernoulli, se puede escribir como${\displaystyle \rho =\rho (v)}$.

Dado que el flujo es irrotacional, existe un potencial de velocidad.${\displaystyle \phi }$existe y su diferencial es simplemente${\displaystyle d\phi =v_{x}dx+v_{y}dy}$En lugar de tratar${\displaystyle v_{x}=v_{x}(x,y)}$y${\displaystyle v_{y}=v_{y}(x,y)}$como variables dependientes, utilizamos una transformación de coordenadas tal que${\displaystyle x=x(v_{x},v_{y})}$y${\ Displaystyle y = y (v_ {x}, v_ {y})}$se convierten en nuevas variables dependientes. De manera similar, el potencial de velocidad se reemplaza por una nueva función ( transformación de Legendre ) ^{[ 4 ].}

${\displaystyle \Phi =xv_{x}+yv_{y}-\phi }$

entonces su diferencial es${\displaystyle d\Phi =xdv_{x}+ydv_{y}}$, por lo tanto

${\displaystyle x={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{x}}},\quad y={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{y}}}.}$

Introduciendo otra transformación de coordenadas para las variables independientes de${\displaystyle (v_{x},v_{y})}$a${\displaystyle (v,\theta )}$según la relación${\displaystyle v_{x}=v\cos \theta }$y${\displaystyle v_{y}=v\sin \theta }$, dónde${\displaystyle v}$es la magnitud del vector velocidad y${\displaystyle \theta }$es el ángulo que forma el vector de velocidad con el${\displaystyle v_{x}}$eje, las variables dependientes se convierten

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}-{\frac {\sin \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\y&=\sin \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {\cos \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\\phi &=-\Phi +v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}.\end{aligned}}}$

La ecuación de continuidad en las nuevas coordenadas se convierte en:

${\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {1}{v}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}\right)+\rho v{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}=0.}$

Para flujo isoentrópico,${\displaystyle dh=\rho ^{-1}c^{2}d\rho }$, dónde${\displaystyle c}$es la velocidad del sonido. Usando la ecuación de Bernoulli encontramos

${\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}=\rho \left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}$

dónde${\displaystyle c=c(v)}$Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}$

• ecuación de Euler-Tricomi