Máximos de Lagrange, Euler y Kovalevskaya

En mecánica clásica , la rotación de un cuerpo rígido como una peonza bajo la influencia de la gravedad no es, en general, un problema integrable . Sin embargo, hay tres casos famosos que son integrables, el trompo de Euler , el de Lagrange y el de Kovalevskaya , que son de hecho los únicos casos integrables cuando el sistema está sujeto a restricciones holonómicas . ^{[1] [2] [3]} Además de la energía, cada uno de estos trompos implica dos constantes de movimiento adicionales que dan lugar a la integrabilidad .

El trompo de Euler describe un trompo libre sin ninguna simetría particular que se mueve en ausencia de cualquier par externo , y para el cual el punto fijo es el centro de gravedad . El trompo de Lagrange es un trompo simétrico, en el que dos momentos de inercia son iguales y el centro de gravedad se encuentra en el eje de simetría . El trompo de Kovalevskaya ^{[4] [5]} es un trompo simétrico especial con una relación única de los momentos de inercia que satisfacen la relación

${\ Displaystyle I_ {1} = I_ {2} = 2I_ {3},}$

Es decir, dos momentos de inercia son iguales, el tercero es la mitad y el centro de gravedad está situado en el plano perpendicular al eje de simetría (paralelo al plano de los dos ejes principales degenerados).

La configuración de un trompo clásico ^[6] se describe en el tiempo mediante tres ejes principales dependientes del tiempo , definidos por los tres vectores ortogonales , y con momentos de inercia correspondientes , y y la velocidad angular sobre esos ejes. En una formulación hamiltoniana de trompos clásicos, las variables dinámicas conjugadas son los componentes del vector de momento angular a lo largo de los ejes principales ${\estilo de visualización t}$${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {e} }}^{1}}$${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {e} }}^{2}}$${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {e} }}^{3}}$${\estilo de visualización I_{1}}$${\estilo de visualización I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$${\displaystyle {\bf {L}}}$

${\displaystyle (\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=(\mathbf {L} \cdot {\hat {\bf {e}}}^{1}, {\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}}}}}$

y los componentes z de los tres ejes principales,

${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}$

Las relaciones de corchetes de Poisson de estas variables están dadas por

${\displaystyle \{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{abc}\ell _{c},\ \{\ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{abc}n_{c},\ \{n_{a},n_{b}\}=0}$

Si la posición del centro de masa está dada por , entonces el hamiltoniano de un trompo está dado por ${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=(a\mathbf {\hat {e}} ^{1}+b\mathbf {\hat {e}} ^{2}+c\mathbf { \hat {e}} ^{3})}$

${\displaystyle H={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{ 2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg(an_{1}+bn_{2}+cn_{3})={\ frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg{\vec {R}}_{cm}\cdot \mathbf {\hat {z}} ,}$

Las ecuaciones de movimiento quedan entonces determinadas por

${\displaystyle {\dot {\ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}}_{a}=\{H,n_{a}\}.}$

Explícitamente, se trata de permutaciones cíclicas de los índices. $${\displaystyle {\dot {\ell }}_{1}=\left({\frac {1}{I_{3}}}-{\frac {1}{I_{2}}}\right)\ell _{2}\ell _{3}+mg(cn_{2}-bn_{3})}$$ $${\displaystyle {\dot {n}}_{1}={\frac {\ell _{3}}{I_{3}}}n_{2}-{\frac {\ell _{2}}{I_{2}}}n_{3}}$$

En términos matemáticos, la configuración espacial del cuerpo se describe mediante un punto en el grupo de Lie , el grupo de rotación tridimensional , que es la matriz de rotación desde el marco del laboratorio hasta el marco del cuerpo. El espacio de configuración completo o espacio de fase es el fibrado cotangente , con las fibras que parametrizan el momento angular en la configuración espacial . El hamiltoniano es una función de este espacio de fase. ${\displaystyle SO(3)}$ $Estilo de visualización T^{*}SO(3)}$$Estilo de visualización T_{R}^{*}SO(3)}$${\estilo de visualización R}$

El trompo de Euler, llamado así por Leonhard Euler , es un trompo sin torsión (por ejemplo, un trompo en caída libre), con un hamiltoniano

${\displaystyle H_{\rm {E}}={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^ {2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}},}$

Las cuatro constantes de movimiento son la energía y los tres componentes del momento angular en el marco del laboratorio. $Estilo de visualización H_{\rm {E}}}$

${\displaystyle (L_{1},L_{2},L_{3})=\ell _{1}\mathbf {\hat {e}} ^{1}+\ell _{2}\mathbf {\ sombrero {e}} ^{2}+\ell _{3}\mathbf {\hat {e}} ^{3}.}$

El pico de Lagrange, ^[7] llamado así por Joseph-Louis Lagrange , es un pico simétrico con el centro de masa a lo largo del eje de simetría en la ubicación, con un hamiltoniano ${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{3}}$

${\displaystyle H_{\rm {L}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}}{2I}}+{\frac {(\ell_ {3})^{2}}{2I_ {3}}}+mghn_ {3}.}$

Las cuatro constantes de movimiento son la energía , el componente del momento angular a lo largo del eje de simetría, el momento angular en la dirección z .$Estilo de visualización H_{\rm {L}}}$${\displaystyle \ell _{3}}$

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

y la magnitud del n -vector

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}$

El trompo de Kovalevskaya ^{[4] [5]} es un trompo simétrico en el que , y el centro de masas se encuentra en el plano perpendicular al eje de simetría . Fue descubierto por Sofia Kovalevskaya en 1888 y presentado en su artículo "Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe", que ganó el Premio Bordin de la Academia Francesa de Ciencias en 1888. El hamiltoniano es ${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I}$${\displaystyle I_{3}=I}$${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{1}}$

${\displaystyle H_{\rm {K}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}+2(\ell _{3})^{2}}{2I}}+mghn_{1}.}$

Las cuatro constantes del movimiento son la energía , el invariante de Kovalevskaya ${\displaystyle H_{\rm {K}}}$

${\displaystyle K=\xi _{+}\xi _{-}}$

donde las variables están definidas por ${\displaystyle \xi _{\pm }}$

${\displaystyle \xi _{\pm }=(\ell _{1}\pm i\ell _{2})^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_{2}),}$

el componente del momento angular en la dirección z ,

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

y la magnitud del n -vector

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}.}$

Si se relajan las restricciones para permitir restricciones no holonómicas , existen otros topes integrables posibles además de los tres casos bien conocidos. El top no holonómico de Goryachev–Chaplygin (introducido por D. Goryachev en 1900 ^[8] e integrado por Sergey Chaplygin en 1948 ^{[9] [10]} ) también es integrable ( ). Su centro de gravedad se encuentra en el plano ecuatorial . ^[11]${\displaystyle I_{1}=I_{2}=4I_{3}}$

• Suspensión cardán

• Cima de Kovalevskaya: del libro El mundo de la física de Eric Weisstein
• Cima de Kovalevskaya