Trineo de Chaplygin

El trineo de Chaplygin es un ejemplo pedagógico sencillo de un sistema no holonómico en mecánica , descrito por Sergey Chaplygin . Consiste en un cuerpo que se desliza sin fricción sobre un plano horizontal, con un filo de cuchillo que restringe su movimiento de modo que el cuchillo se desliza únicamente longitudinalmente. Debido a que esta restricción es no holonómica, el teorema de Liouville no se aplica, y aunque la energía se conserva, el movimiento es disipativo en el sentido de que el volumen del espacio de fases no se conserva. El movimiento tiende a un equilibrio, en el que el trineo se mueve sin rotación, con el filo de cuchillo siguiendo al centro de masa.

Existen varias maneras de observar que el sistema no es holonómico. La dimensión del espacio de fases es 5, lo cual es impar. La restricción sobre la velocidad no se puede derivar de una restricción sobre las coordenadas.

El movimiento del sistema se puede caracterizar de forma sencilla. Sea v la velocidad, donde los valores positivos indican que el filo de la cuchilla se desplaza. Sea ω la velocidad angular. Entonces, las ecuaciones de movimiento son:

${\displaystyle {\dot {v}}=a\omega ^{2},}$

${\displaystyle {\dot {\omega }}=-{\frac {ma}{yo+ma^{2}}}v\omega ,}$

donde a es la distancia entre el centro de masa y el punto de contacto, que suele ser la parte delantera del trineo, I es el momento de inercia y m es la masa. Las soluciones son elipses en el plano v–ω. Las ecuaciones de movimiento son simétricas bajo inversión temporal, pero asimétricas bajo inversión del eje fijo al cuerpo alineado con el filo de la cuchilla.

En mecánica geométrica, el trineo de Chaplygin pertenece al grupo euclidiano especial.${\displaystyle {\text{SE}}_{2}(\mathbb {R} )\cong {\text{SO}}(2)\rtimes \mathbb {R} ^{2}}$ya que la posición y la dirección están contempladas.

El análogo del trineo de Chaplygin es el torpedo. Ahora, el cuerpo se desliza sin fricción a través del espacio en lugar de en el plano. El sistema está restringido a deslizarse solo longitudinalmente y no puede girar alrededor de la dirección del movimiento de manera similar a como un torpedo se mueve a través del agua. La dimensión del espacio de fase es 9 ya que hay 6 posiciones y 6 velocidades acopladas con 3 restricciones. Este sistema es el análogo natural del trineo de Chaplygin ya que vive en${\displaystyle {\text{SE}}_{3}(\mathbb {R} )\cong {\text{SO}}(3)\rtimes \mathbb {R} ^{3}}$.

• AM Bloch, Mecánica y control no holonómicos. Springer, Nueva York, NY . ISBN 978-1-4939-3821-6
• WA Clark, AM Bloch, Existencia de volúmenes invariantes en sistemas no holonómicos.