Módulo de caracteres

En matemáticas, especialmente en el área del álgebra abstracta , todo módulo tiene un módulo de caracteres asociado . Utilizando el módulo de caracteres asociado, es posible investigar las propiedades del módulo original. Uno de los principales resultados descubiertos por Joachim Lambek muestra que un módulo es plano si y solo si el módulo de caracteres asociado es inyectivo . ^{[ 1 ]}

El grupo${\displaystyle (\mathbb {Q} /\mathbb {Z},+)}$, el grupo de números racionales módulo${\textstyle 1}$, puede considerarse como un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo de forma natural. Deje${\displaystyle M}$ser un grupo aditivo que también se considera como un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo. Luego el grupo$${\displaystyle M^{*}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$$de${\displaystyle \mathbb {Z} }$- homomorfismos de${\displaystyle M}$a${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$se denomina grupo de caracteres asociado a${\displaystyle M}$Los elementos de este grupo se llaman caracteres . Si${\displaystyle M}$es una izquierda${\displaystyle R}$-módulo sobre un anillo${\displaystyle R}$, luego el grupo de personajes${\displaystyle M^{*}}$es un derecho${\displaystyle R}$-módulo y llamado el módulo de caracteres asociado a${\displaystyle M}$. La acción del módulo en el módulo de personaje para${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$y${\displaystyle r\in R}$se define por${\displaystyle (fr)(m)=f(rm)}$a pesar de${\displaystyle m\in M}$. ^{[ 2 ]} El módulo de caracteres también se puede definir de la misma manera para la derecha${\displaystyle R}$-módulos. En la literatura también las notaciones${\displaystyle M',M^{0}}$y${\displaystyle M^{+}}$se utilizan para módulos de caracteres. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Dejar${\displaystyle M,N}$ser dejado${\displaystyle R}$-módulos y${\displaystyle f\colon M\to N}$un${\displaystyle R}$-homomorfismo. Entonces el mapeo${\displaystyle f^{*}\colon N^{*}\to M^{*}}$definido por${\displaystyle f^{*}(h)=h\circ f}$a pesar de${\displaystyle h\in N^{*}}$es un derecho${\displaystyle R}$-homomorfismo. La formación de módulos de caracteres es un functor contravariante de la categoría de izquierda${\displaystyle R}$-módulos a la categoría de derecha${\displaystyle R}$-módulos. ^{[ 3 ]}

El grupo abeliano${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$es divisible y por lo tanto inyectivo${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo. Además, tiene la siguiente propiedad importante: Sea${\displaystyle G}$ser un grupo abeliano y${\displaystyle g\in G}$distinto de cero. Entonces existe un homomorfismo de grupos${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$con${\displaystyle f(g)\neq 0}$. Esto dice que${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$es un cogenerador . Con estas propiedades se puede demostrar el teorema principal de la teoría de módulos de caracteres: ^{[ 3 ]}

Teorema (Lambek) ^{[ 1 ]} : Un módulo izquierdo${\displaystyle M}$sobre un anillo${\displaystyle R}$es plano si y solo si el módulo de caracteres${\displaystyle M^{*}}$es un derecho inyectivo${\displaystyle R}$-módulo.

Dejar${\displaystyle M}$ser un módulo izquierdo sobre un anillo${\displaystyle R}$y${\displaystyle M^{*}}$el módulo de caracteres asociado.

• El módulo${\displaystyle M}$es plano si y solo si${\displaystyle M^{*}}$es inyectiva (Teorema de Lambek ^{[ 4 ]} ). ^{[ 1 ]}
• Si${\displaystyle M}$es gratis, entonces${\displaystyle M^{*}}$es un derecho inyectivo${\displaystyle R}$-módulo y${\displaystyle M^{*}}$es un producto directo de copias del derecho${\displaystyle R}$-módulos${\displaystyle R^{*}}$. ^{[ 2 ]}
• Por cada derecho${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle N}$Hay un módulo gratuito${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle N}$es isomorfo a un submódulo de${\displaystyle M^{*}}$. Con la propiedad anterior este módulo${\displaystyle M^{*}}$es inyectivo, por lo tanto, cada derecho${\displaystyle R}$-módulo es isomorfo a un submódulo de un módulo inyectivo. (Teorema de Baer) ^{[ 5 ]}
• A la izquierda${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle N}$es inyectiva si y solo si existe un libre${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle N}$es isomorfo a un sumando directo de${\displaystyle M^{*}}$. ^{[ 5 ]}
• El módulo${\displaystyle M}$es inyectivo si y solo si es un sumando directo de un módulo de caracteres de un módulo libre . ^{[ 2 ]}
• Si${\displaystyle N}$es un submódulo de${\displaystyle M}$, entonces${\displaystyle (M/N)^{*}}$es isomorfo al submódulo de${\displaystyle M^{*}}$que consiste en todos los elementos que aniquilan${\displaystyle N}$. ^{[ 2 ]}
• La formación de módulos de caracteres es un functor exacto contravariante , es decir, preserva secuencias exactas. ^{[ 3 ]}
• Dejar${\displaystyle N}$ser un derecho${\displaystyle R}$-módulo. Luego los módulos${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(N,M^{*})}$y${\displaystyle (N\otimes _{R}M)^{*}}$son isomorfos como${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulos. ^{[ 4 ]}