Teorema de densidad de Chebotarev

En matemáticas , específicamente en la teoría algebraica de números , el teorema de densidad de Chebotarev , que lleva el nombre de Nikolai Chebotarev , describe estadísticamente la descomposición de números primos en una extensión de Galois dada.${\displaystyle K}$del campo${\displaystyle \mathbb {Q} }$de números racionales . En términos generales, un número primo se factorizará en varios primos ideales en el anillo de enteros algebraicos de${\displaystyle K}$Solo existen un número finito de patrones de división que pueden ocurrir. Aunque la descripción completa de la división de cada número primo${\displaystyle p}$En una extensión de Galois general, es un problema importante sin resolver; el teorema de densidad de Chebotarev dice que la frecuencia de aparición de un patrón dado, para todos los números primos${\displaystyle p}$menos que un número entero grande${\displaystyle N}$, tiende a un cierto límite como${\displaystyle N}$va hasta el infinito. Chebotarev lo demostró en su tesis en 1922. ^{[ 1 ]}

Un caso especial que es más fácil de enunciar dice que si${\displaystyle K}$es un cuerpo de números algebraicos que es una extensión de Galois de${\displaystyle \mathbb {Q} }$de grado${\displaystyle n}$, entonces los números primos que se dividen completamente en${\displaystyle K}$tienen densidad${\displaystyle 1/n}$entre todos los números primos. De manera más general, el comportamiento de división se puede especificar asignando a (casi) cada número primo un invariante, su elemento de Frobenius , que es un representante de una clase de conjugación bien definida en el grupo de Galois.${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$. En este caso, el teorema dice que la distribución asintótica de estos invariantes es uniforme sobre el grupo, de modo que una clase de conjugación con${\displaystyle k}$elementos ocurre con frecuencia asintótica a${\displaystyle k/n}$.

Cuando Carl Friedrich Gauss introdujo por primera vez la noción de números enteros complejos${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$Observó que los números primos ordinarios pueden factorizarse aún más en este nuevo conjunto de enteros. Distinguió tres casos: si un primo${\displaystyle p}$es congruente con 1 mod 4, entonces se factoriza en un producto de dos enteros gaussianos primos distintos, o "se divide completamente"; si${\displaystyle p}$es congruente con 3 mod 4, entonces sigue siendo primo, o es "inerte"; y si${\displaystyle p}$Si es 2, entonces se convierte en un producto del cuadrado del número primo .${\displaystyle (1+i)}$y el entero gaussiano invertible${\displaystyle -i}$; decimos que 2 "se ramifica". Por ejemplo,

${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)}$se divide por completo;

${\displaystyle 3}$es inerte;

${\displaystyle 2=-i(1+i)^{2}}$se ramifica.

De esta descripción, parece que a medida que se consideran primos cada vez más grandes, la frecuencia de una división de primos se aproxima completamente.${\displaystyle 50\%}$y asimismo para los primos que siguen siendo primos en${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas demuestra que, en efecto , este es el caso. Aunque los números primos en sí mismos aparecen de forma bastante errática, la división de los primos en la extensión${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [i]}$Sigue una ley estadística simple.

Leyes estadísticas similares también se aplican a la división de primos en las extensiones ciclotómicas , obtenidas del campo de los números racionales mediante la adición de una raíz primitiva de la unidad de un orden dado. Por ejemplo, los primos enteros ordinarios se agrupan en cuatro clases, cada una con probabilidad${\displaystyle 25\%}$, según su patrón de descomposición en el anillo de enteros correspondiente a las raíces octavas de la unidad. En este caso, la extensión de cuerpo tiene grado 4 y es abeliana , con el grupo de Galois isomorfo al grupo de Klein de cuatro dimensiones . Se descubrió que el grupo de Galois de la extensión juega un papel clave en el patrón de descomposición de los primos. Georg Frobenius estableció el marco para investigar este patrón y demostró un caso particular del teorema. El enunciado general fue demostrado por Nikolai Grigoryevich Chebotaryov en 1922.

El teorema de densidad de Chebotarev puede considerarse una generalización del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . Una forma cuantitativa del teorema de Dirichlet establece que si${\displaystyle n\geq 2}$es un número entero y${\displaystyle a}$es coprimo con${\displaystyle n}$, entonces la proporción de los primos${\displaystyle p}$congruente con${\displaystyle a}$mod${\displaystyle n}$es asintótico a${\displaystyle 1/\phi (n)}$, dónde${\displaystyle \phi }$es la función totiente de Euler .

Este es un caso especial del teorema de densidad de Chebotarev para el${\displaystyle n}$-º campo ciclotómico${\displaystyle K}$. De hecho, el grupo de Galois de${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$es abeliano y puede identificarse canónicamente con el grupo de clases de residuos invertibles mod${\displaystyle n}$El invariante de descomposición de un número primo${\displaystyle p}$no dividir${\displaystyle n}$es simplemente su clase residual porque el número de primos distintos en los que${\displaystyle p}$las divisiones son${\displaystyle \phi (n)/m}$, dónde${\displaystyle m}$es el orden multiplicativo de${\displaystyle p}$módulo${\displaystyle n}$; por lo tanto, según el teorema de densidad de Chebotarev, los números primos se distribuyen asintóticamente de manera uniforme entre las diferentes clases de residuos coprimos con${\displaystyle n}$.

En su artículo de revisión, Lenstra y Stevenhagen (1996) dan un resultado anterior de Frobenius en esta área: sea${\displaystyle P(t)}$sea ​​un polinomio entero mónico y${\displaystyle K}$es un campo divisorio de${\displaystyle P(t)}$; entonces${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$es una extensión de Galois . Tiene sentido factorizar${\displaystyle P(t)}$módulo un número primo${\displaystyle p}$. Su "tipo de división" es la lista de grados de factores irreducibles de${\displaystyle P(t)}$mod${\displaystyle p}$; es decir${\displaystyle P(t)}$factoriza de alguna manera sobre el campo primo${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Si${\displaystyle n}$es el grado de${\displaystyle P(t)}$, entonces el tipo de división es una partición${\displaystyle \Pi }$de${\displaystyle n}$. Ahora cada uno${\displaystyle g}$en${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$es una permutación de las raíces de${\displaystyle P(t)}$en${\displaystyle K}$; en otras palabras, al elegir un ordenamiento de una raíz y sus conjugados algebraicos ,${\displaystyle G}$está fielmente representado como un subgrupo del grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$Podemos escribir${\displaystyle g}$mediante su representación cíclica , que da un "tipo de ciclo"${\displaystyle c(g)}$, de nuevo una partición de${\displaystyle n}$.

El teorema de Frobenius establece que para cualquier elección dada de${\displaystyle \Pi }$los primos${\displaystyle p}$para el cual el tipo de división de${\displaystyle P(t)}$mod${\displaystyle p}$es${\displaystyle \Pi }$tiene una densidad natural${\displaystyle \delta }$, con${\displaystyle \delta }$igual a la proporción de${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$que tienen tipo de ciclo${\displaystyle \Pi }$.

El enunciado del teorema de densidad de Chebotarev, más general, se expresa en términos del elemento de Frobenius de un número primo (ideal), que de hecho es una clase de conjugación asociada.${\displaystyle C}$de elementos del grupo Galois${\displaystyle G}$Si lo arreglamos${\displaystyle C}$Entonces el teorema dice que, asintóticamente, una proporción${\displaystyle |C|/|G|}$de los números primos tienen asociado el elemento de Frobenius como${\displaystyle C}$. Cuando${\displaystyle G}$es abeliano, las clases tienen cada una un tamaño de 1. Para el caso de un grupo no abeliano de orden 6 tienen tamaños de 1, 2 y 3, y hay correspondientemente (por ejemplo)${\displaystyle 50\%}$de primos${\displaystyle p}$que tienen un elemento de orden 2 como su Frobenius. Por lo tanto, estos primos tienen grado residual 2, y por eso se dividen en exactamente tres ideales primos en una extensión de grado 6 de${\displaystyle \mathbb {Q} }$con él como grupo de Galois. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle L}$sea ​​una extensión de Galois finita de un cuerpo numérico${\displaystyle K}$con el grupo Galois${\displaystyle G}$. Dejar${\displaystyle X}$ser un subconjunto de${\displaystyle G}$que es estable bajo conjugación. El conjunto de primos${\displaystyle v}$de${\displaystyle K}$que no están ramificados en${\displaystyle L}$y cuya clase de conjugación de Frobenius asociada${\displaystyle F_{v}}$está contenido en${\displaystyle X}$tiene densidad${\displaystyle \#X/\#G}$. ^{[ 3 ]} La afirmación es válida cuando la densidad se refiere a la densidad natural o a la densidad analítica del conjunto de los números primos. ^{[ 4 ]}

El teorema de densidad de Chebotarev reduce el problema de clasificar las extensiones de Galois de un cuerpo numérico al de describir la descomposición de los primos en extensiones. Específicamente, implica que como una extensión de Galois${\displaystyle L/K}$está determinado de forma única por el conjunto de primos de${\displaystyle K}$que se dividió completamente en él. ^{[ 7 ]} Un corolario relacionado es que si casi todos los ideales primos de${\displaystyle K}$dividido completamente en${\displaystyle L}$, entonces de hecho${\displaystyle L=K}$. ^{[ 8 ]}

• Escisión de ideales primos en extensiones de Galois
• Conjetura de la curvatura p de Grothendieck-Katz

• Lenstra, HW; Stevenhagen, P. (1996), "Chebotarëv y su teorema de densidad" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 18 (2): 26–37 , CiteSeerX 10.1.1.116.9409 , doi : 10.1007/BF03027290 , MR 1395088  

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol.  322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR 1697859 . Zbl 0956.11021 .  
• Serre, Jean-Pierre (1998) [1968], Representaciones l-ádicas abelianas y curvas elípticas (Reimpresión revisada de la  edición original de 1968), Wellesley, MA: AK Peters, Ltd., ISBN 1-56881-077-6, MR 1484415 
• Tschebotareff, N. (1926), "Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen, welche zu einer gegebenen Substitutionsklasse gehören", Mathematische Annalen , 95 (1): 191– 228, doi : 10.1007/BF01206606