Desigualdad de suma de Chebyshev

En matemáticas , la desigualdad de suma de Chebyshev , que recibe su nombre de Pafnuty Chebyshev , establece que si

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad }$y${\displaystyle \quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$

entonces

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\!\!\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)\!.}$

En otras palabras, si se nos dan dos secuencias que no son ni crecientes ni decrecientes, entonces el producto de sus promedios es menor que el promedio de su producto (término por término).

De manera similar, si

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}\quad }$y${\displaystyle \quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$

entonces

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\!\!\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)\!.}$^{[ 1 ]}

Consideremos la suma

${\displaystyle S=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}(a_{j}-a_{k})(b_{j}-b_{k}).}$

Las dos secuencias no son crecientes , por lo tanto a _j  − a _k  y b _j  − b _k  tienen el mismo signo para cualquier j , k  . Por lo tanto S ≥ 0   .

Al abrir los paréntesis, deducimos:

${\displaystyle 0\leq 2n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}-2\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{j=1}^{n}b_{j},}$

por eso

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right)\!\!\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}b_{j}\right)\!.}$

Una prueba alternativa se obtiene simplemente con la desigualdad de reordenamiento , escribiendo que

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\sum _{j=0}^{n-1}b_{j}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}a_{i}b_{j}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{k=0}^{n-1}a_{i}b_{i+k~{\text{mod}}~n}=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}b_{i+k~{\text{mod}}~n}\leq \sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}b_{i}=n\sum _{i}a_{i}b_{i}.}$

También existe una versión continua de la desigualdad de suma de Chebyshev:

Si f y g son funciones integrables de valor real sobre [ a , b ], ambas no crecientes o ambas no decrecientes, entonces

${\displaystyle {\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\geq \!\left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\!\!\left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}g(x)\,dx\right)}$

La desigualdad se invierte si una es no creciente y la otra no es decreciente.

• Desigualdad de Hardy-Littlewood
• Desigualdad de reordenamiento