ecuación de Chebyshev

La ecuación de Chebyshev es una ecuación diferencial lineal de segundo orden.

${\displaystyle (1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x{dy \over dx}+p^{2}y=0,}$

donde p es una constante real (o compleja). La ecuación recibe su nombre del matemático ruso Pafnuty Chebyshev . Las soluciones se pueden obtener mediante series de potencias :

${\displaystyle y=\sum _ {n=0}^{\infty}a_ {n}x^{n},}$

donde los coeficientes obedecen la relación de recurrencia

${\displaystyle a_{n+2}={(np)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}.}$

La serie converge para${\displaystyle |x|<1}$(nótese que _{x puede ser complejo), como se puede observar al aplicar la prueba de la razón a la recurrencia. La recurrencia puede iniciarse con valores arbitrarios de a₀} y a₁ , _lo que conduce al espacio bidimensional de soluciones que surge de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Las opciones estándar son:

a ₀ = 1  ; a ₁ = 0, lo que lleva a la solución

${\displaystyle F(x)=1-{\frac {p^{2}}{2!}}x^{2}+{\frac {(p-2)p^{2}(p+2)}{4!}}x^{4}-{\frac {(p-4)(p-2)p^{2}(p+2)(p+4)}{6!}}x^{6}+\cdots }$

y

a ₀ = 0  ; a ₁ = 1, lo que lleva a la solución

${\displaystyle G(x)=x-{\frac {(p-1)(p+1)}{3!}}x^{3}+{\frac {(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}}x^{5}-\cdots .}$

La solución general es cualquier combinación lineal de estos dos.

Cuando p es un entero no negativo, una u otra de las dos funciones tiene su serie terminando después de un número finito de términos: F termina si p es par, y G termina si p es impar. En este caso, esa función es un polinomio de grado p y es proporcional al polinomio de Chebyshev de primera especie.

${\displaystyle T_{p}(x)=(-1)^{p/2}\ F(x)\,}$si p es par

${\displaystyle T_{p}(x)=(-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\,}$si p es impar

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