distancia de Chebyshev

En matemáticas , la distancia de Chebyshev (o distancia de Tchebychev ), métrica máxima o métrica L _∞ ^{[ 1 ]} es una métrica definida en un espacio de coordenadas reales donde la distancia entre dos puntos es la mayor de sus diferencias a lo largo de cualquier dimensión de coordenadas. ^{[ 2 ]} Recibe su nombre de Pafnuty Chebyshev .

También se conoce como distancia del tablero de ajedrez , ya que en el juego de ajedrez el número mínimo de movimientos que necesita un rey para ir de una casilla en un tablero de ajedrez a otra es igual a la distancia de Chebyshev entre los centros de las casillas, si las casillas tienen longitud de lado uno, como se representa en coordenadas espaciales 2D con ejes alineados con los bordes del tablero. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, la distancia de Chebyshev entre f6 y e2 es igual a 4.

La distancia de Chebyshev entre dos vectores o puntos a y b , con coordenadas estándar.${\displaystyle a_{i}}$y${\displaystyle b_{i}}$, respectivamente, es

$${\displaystyle D(a,b)=\max _{i}(|a_{i}-b_{i}|).}$$ Esto equivale al límite de las métricas L _p : $${\displaystyle D(a,b)=\lim _{p\to \infty }{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}-b_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p},}$$ Por lo tanto, también se la conoce como la métrica L _∞ .

Matemáticamente, la distancia de Chebyshev es una métrica inducida por la norma del supremo o norma uniforme . Es un ejemplo de métrica inyectiva .

En dos dimensiones, es decir, geometría plana , si los puntos a y b tienen coordenadas cartesianas${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$y${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, su distancia de Chebyshev es

$${\displaystyle D_{\rm {Chebyshev}}=\max \left(\left|x_{2}-x_{1}\right|,\left|y_{2}-y_{1}\right|\right).}$$

Según esta métrica, un círculo de radio r , que es el conjunto de puntos con una distancia de Chebyshev r desde un punto central, es un cuadrado cuyos lados tienen una longitud de 2r y son paralelos a los ejes de coordenadas.

En un tablero de ajedrez, donde se utiliza una distancia de Chebyshev discreta en lugar de una continua, el círculo de radio r es un cuadrado de lados de longitud 2r , medidos desde los centros de los cuadrados, y por lo tanto cada lado contiene 2r + 1 cuadrados; por ejemplo, el círculo de radio 1 en un tablero de ajedrez es un cuadrado de 3 × 3.

En una dimensión, todas las métricas L _p son iguales; son simplemente el valor absoluto de la diferencia.

La distancia de Manhattan bidimensional tiene "círculos", es decir, conjuntos de nivel en forma de cuadrados, con lados de longitud √2r , orientados en un ángulo de π/4 (45°) con respecto a los ejes de coordenadas, por lo que la distancia de Chebyshev planar puede considerarse equivalente mediante rotación y escalado a (es decir, una transformación lineal de) la distancia de Manhattan planar.

Sin embargo, esta equivalencia geométrica entre las métricas L ₁ y L _∞ no se generaliza a dimensiones superiores. Una esfera formada usando la distancia de Chebyshev como métrica es un cubo con cada cara perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, pero una esfera formada usando la distancia de Manhattan es un octaedro : estos son poliedros duales , pero entre los cubos, solo el cuadrado (y el segmento de línea unidimensional) son politopos autoduales . No obstante, es cierto que en todos los espacios de dimensión finita las métricas L ₁ y L _∞ son matemáticamente duales entre sí.

En una cuadrícula (como un tablero de ajedrez), los puntos que se encuentran a una distancia de Chebyshev de 1 de un punto constituyen la vecindad de Moore de ese punto.

La distancia de Chebyshev es el caso límite del orden-${\displaystyle p}$distancia de Minkowski , cuando${\displaystyle p}$alcanza el infinito .

La distancia de Chebyshev se utiliza a veces en la logística de almacenes , ^{[ 4 ]} ya que mide eficazmente el tiempo que tarda una grúa puente en mover un objeto (ya que la grúa puede moverse en los ejes x e y al mismo tiempo pero a la misma velocidad a lo largo de cada eje).

También se utiliza ampliamente en aplicaciones de fabricación electrónica asistida por ordenador (CAM), en particular, en algoritmos de optimización para estas.

Para el espacio de secuencias de longitud infinita de números reales o complejos, la distancia de Chebyshev se generaliza a la${\displaystyle \ell ^{\infty }}$-norma ; esta norma a veces se denomina norma de Chebyshev. Para el espacio de funciones (con valores reales o complejos), la distancia de Chebyshev se generaliza a la norma uniforme .

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