nodos de Chebyshev

En análisis numérico , los nodos de Chebyshev (también llamados puntos de Chebyshev o cuadrícula de Chebyshev ) son un conjunto de números algebraicos específicos que se utilizan como nodos para la interpolación polinómica y la integración numérica . Son la proyección de un conjunto de puntos equidistantes en el círculo unitario sobre el intervalo real.${\displaystyle [-1,1]}$, el diámetro del círculo .

Hay dos tipos de nodos de Chebyshev. El${\displaystyle n}$Los nodos de Chebyshev de primera especie , también llamados nodos de Chebyshev-Gauss ^{[ 1 ]} o ceros de Chebyshev , son los ceros de un polinomio de Chebyshev de primera especie ,${\displaystyle T_{n}}$⁠ . El correspondiente ⁠${\displaystyle n+1}$⁠ Los nodos de Chebyshev de segundo tipo , también llamados nodos de Chebyshev-Lobatto ^{[ 2 ]} o extremos de Chebyshev , son los extremos de ⁠${\displaystyle T_{n}}$⁠ , que también son los ceros de un polinomio de Chebyshev de segundo tipo, ⁠${\displaystyle U_{n-1}}$⁠ , junto con los dos extremos del intervalo. Ambos tipos de números se conocen comúnmente como nodos de Chebyshev o puntos de Chebyshev en la literatura. ^{[ 3 ]} Reciben su nombre del matemático ruso del siglo XIX Pafnuty Chebyshev , quien introdujo por primera vez los polinomios de Chebyshev.

A diferencia de otros nodos de interpolación, los nodos de Chebyshev se "anidan": los nodos existentes se conservan al duplicar el número de nodos, reduciendo a la mitad el cálculo para cada refinamiento de la malla. Los interpolantes polinomiales construidos a partir de nodos de Chebyshev minimizan el efecto del fenómeno de Runge . ^{[ 4 ]} Se pueden convertir fácilmente a una representación como una suma ponderada de polinomios de Chebyshev utilizando la transformada rápida de Fourier .

Para un entero positivo dado${\displaystyle n}$, el${\displaystyle n}$Los nodos de Chebyshev de primera especie están dados por

$${\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {{\bigl (}k+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\pi }{n}},\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$

Esta es la proyección de${\displaystyle 2n}$Puntos equidistantes en el círculo unitario sobre el intervalo${\displaystyle [-1,1]}$⁠ , el diámetro del círculo. Estos puntos son también las raíces de ⁠${\displaystyle T_{n}}$⁠ , el polinomio de Chebyshev de primera especie con grado ⁠${\displaystyle n}$⁠ .

El​${\displaystyle n+1}$Los nodos de Chebyshev de segundo tipo vienen dados por

$${\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {k\pi }{n}},\quad k=0,\ldots ,n.}$$

Esta es también la proyección de${\displaystyle 2n}$⁠ puntos equidistantes en el círculo unitario sobre ⁠${\displaystyle [-1,1]}$⁠ , esta vez incluyendo los extremos del intervalo, cada uno de los cuales es solo la proyección de un punto en el círculo en lugar de dos. Estos puntos son también los extremos de ⁠${\displaystyle T_{n}}$en​​${\displaystyle [-1,1]}$⁠ , los lugares donde toma el valor ⁠${\displaystyle \pm 1}$⁠ . ^{[ 5 ]} Los puntos interiores entre los nodos, sin incluir los extremos, son también los ceros de ⁠${\displaystyle U_{n-1}}$⁠ , un polinomio de Chebyshev de segundo tipo, un reescalamiento de la derivada de ⁠${\displaystyle T_{n}}$⁠ .

Para nodos en un intervalo arbitrario${\displaystyle [a,b]}$una transformación afín de${\displaystyle [-1,1]}$se puede utilizar: $${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}={\tfrac {1}{2}}(a+b)+{\tfrac {1}{2}}(ba)x_{k}.}$$

Ambos tipos de nodos son siempre simétricos con respecto a cero, el punto medio del intervalo.

Los conjuntos de nodos para los primeros números enteros${\displaystyle n}$son: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{raíces}}(T_{0})&=\{\},&{\text{raíces}}(U_{0})&=\{\},&{\text{extremo}}(T_{1})&=\{-1,+1\},\\{\text{raíces}}(T_{1})&=\{0\},&{\text{raíces}}(U_{1})&=\{0\},&{\text{extremo}}(T_{2})&=\{-1,0,+1\},\\{\text{raíces}}(T_{2})&=\{-1/{\sqrt {2}},+1/{\sqrt {2}}\},&{\text{raíces}}(U_{2})&=\{-1/2,+1/2\},&{\text{extremos}}(T_{3})&=\{-1,-1/2,+1/2,+1\}\\\end{aligned}}}$$

Si bien estos conjuntos están ordenados por valores ascendentes, las fórmulas de definición dadas anteriormente generan los nodos de Chebyshev en orden inverso, del mayor al menor.

Los nodos de Chebyshev son importantes en la teoría de la aproximación porque forman un conjunto de nodos particularmente bueno para la interpolación polinómica . Dada una función f en el intervalo${\displaystyle [-1,+1]}$y${\displaystyle n}$agujas${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$En ese intervalo, el polinomio de interpolación es ese polinomio único.${\displaystyle P_{n-1}}$de grado como máximo${\displaystyle n-1}$que tiene valor${\displaystyle f(x_{i})}$en cada punto${\displaystyle x_{i}}$. El error de interpolación en${\displaystyle x}$es $${\displaystyle f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}$$ para algunos${\displaystyle \xi }$(dependiendo de x ) en [ −1, 1 ] . ^{[ 6 ]} Por lo tanto, es lógico intentar minimizar $${\displaystyle \max _{x\in [-1,1]}{\biggl |}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i}){\biggr |}.}$$

Este producto es un polinomio mónico de grado n . Se puede demostrar que el valor absoluto máximo (norma máxima) de cualquier polinomio de este tipo está acotado inferiormente por 2 ^{1− n} . Esta cota se alcanza mediante los polinomios de Chebyshev escalados 2 ^{1− n} T _n , que también son mónicos. (Recordemos que | T _n ( x )| ≤ 1 para x ∈ [−1, 1] . ^{[ 7 ]} ) Por lo tanto, cuando los nodos de interpolación x _i son las raíces de T _n , el error satisface $${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$$ Para un intervalo arbitrario [ a , b ], un cambio de variable muestra que $${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$$

Algunas aplicaciones para nodos de interpolación, como el diseño de filtros Chebyshev pasivos con terminación igual , no pueden usar directamente nodos Chebyshev de orden par debido a la falta de una raíz en 0. En cambio, los nodos Chebyshev se pueden mover hacia cero, con una raíz doble en cero directamente, usando una transformación: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}=\operatorname {sgn} (x_{k}){\sqrt {\frac {x_{k}^{2}-x_{n/2}^{2}}{1-x_{n/2}^{2}}}}}$$

Por ejemplo, los nodos de Chebyshev de primera especie de orden 4 son${\displaystyle {0.9239,0.3827,-0.3827,-0.9239}}$, con${\displaystyle x_{n/2}=0.382683}$Al aplicar la transformación se obtienen nuevos nodos.${\displaystyle {0.910180,0,0,-0.910180}}$Los nodos de orden par modificados ahora incluyen el cero dos veces.

• Chebfun
• Cuadratura de Chebyshev-Gauss
• Constante de Lebesgue

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas: Análisis numérico , 8.ª ed., páginas 503–512, ISBN 0-534-39200-8.