Comprobar si una moneda es justa

En estadística , la cuestión de comprobar si una moneda es justa radica, en primer lugar, en que proporciona un problema sencillo para ilustrar ideas básicas de inferencia estadística y, en segundo lugar, en que permite comparar diversos métodos de inferencia estadística, incluida la teoría de la decisión . Si bien el problema práctico de comprobar si una moneda es justa podría considerarse fácil de resolver mediante un número suficientemente grande de ensayos, la estadística y la teoría de la probabilidad ofrecen orientación sobre dos tipos de cuestiones: la cantidad de ensayos necesarios y la precisión de la estimación de la probabilidad de obtener cara, derivada de una muestra determinada de ensayos.

Una moneda justa es un dispositivo de aleatorización idealizado con dos estados (generalmente llamados "cara" y "cruz" ) que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Se basa en el lanzamiento de moneda utilizado ampliamente en deportes y otras situaciones donde se requiere dar a dos partes la misma probabilidad de ganar. Se utiliza un chip especialmente diseñado o, más comúnmente, una moneda común , aunque esta última podría ser ligeramente "injusta" debido a una distribución de peso asimétrica, lo que podría hacer que un estado ocurra con más frecuencia que el otro, dando a una parte una ventaja injusta. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, podría ser necesario probar experimentalmente si la moneda es realmente "justa" , es decir, si la probabilidad de que la moneda caiga de cualquiera de los dos lados al ser lanzada es exactamente del 50%. Por supuesto, es imposible descartar desviaciones arbitrariamente pequeñas de la imparcialidad, como las que podrían esperarse que afecten solo a un lanzamiento en toda una vida de lanzamientos; además, siempre es posible que una moneda injusta (o " sesgada ") dé exactamente 10 caras en 20 lanzamientos. Por lo tanto, cualquier prueba de imparcialidad debe establecer únicamente un cierto grado de confianza en un cierto grado de imparcialidad (un cierto sesgo máximo). En términos más rigurosos, el problema consiste en determinar los parámetros de un proceso de Bernoulli , a partir de una muestra limitada de ensayos de Bernoulli .

Este artículo describe procedimientos experimentales para determinar si una moneda es justa o injusta. Existen numerosos métodos estadísticos para analizar este tipo de procedimientos experimentales. Este artículo ilustra dos de ellos.

Ambos métodos consisten en realizar un experimento (o prueba) en el que se lanza la moneda varias veces y se registra el resultado de cada lanzamiento. Posteriormente, los resultados se analizan estadísticamente para determinar si la moneda es "justa" o "probablemente no lo sea".

• Función de densidad de probabilidad posterior (PDF) ( enfoque bayesiano ). Inicialmente, se desconoce la probabilidad real de obtener una cara determinada al lanzar una moneda, pero la incertidumbre se representa mediante la distribución a priori . La teoría de la inferencia bayesiana se utiliza para derivar la distribución a posteriori combinando la distribución a priori con la función de verosimilitud , que representa la información obtenida del experimento. La probabilidad de que esta moneda sea justa se obtiene integrando la PDF de la distribución a posteriori en el intervalo correspondiente, que representa todas las probabilidades que pueden considerarse justas en la práctica.
• Estimador de probabilidad real ( enfoque frecuentista ). Este método supone que el experimentador puede decidir lanzar la moneda cualquier número de veces. El experimentador primero decide el nivel de confianza requerido y el margen de error tolerable. Estos parámetros determinan el número mínimo de lanzamientos necesarios para completar el experimento.

Una diferencia importante entre estos dos enfoques es que el primero otorga cierta importancia a la experiencia previa en el lanzamiento de monedas, mientras que el segundo no. La cuestión de cuánta importancia darle a la experiencia previa, dependiendo de la calidad (credibilidad) de esa experiencia, se analiza en la teoría de la credibilidad .

Un método consiste en calcular la función de densidad de probabilidad posterior de la teoría de probabilidad bayesiana .

Se realiza una prueba lanzando la moneda N veces y registrando el número de caras, h , y cruces, t, que se obtienen . Los símbolos H y T representan variables más generalizadas que expresan el número de caras y cruces, respectivamente, que podrían haberse observado en el experimento. Por lo tanto, N = H + T = h + t .

A continuación, sea r la probabilidad real de obtener cara en un solo lanzamiento de la moneda. Esta es la propiedad de la moneda que se está investigando. Utilizando el teorema de Bayes , la densidad de probabilidad posterior de r condicionada a h y t se expresa de la siguiente manera:

${\displaystyle f(r\mid H=h,T=t)={\frac {\Pr(H=h\mid r,N=h+t)\,g(r)}{\int _{0}^{1}\Pr(H=h\mid p,N=h+t)\,g(p)\,dp}},}$

donde g ( r ) representa la distribución de densidad de probabilidad previa de r , que se encuentra en el rango de 0 a 1.

La distribución de densidad de probabilidad a priori resume lo que se sabe sobre la distribución de r en ausencia de cualquier observación. Supondremos que la distribución a priori de r es uniforme en el intervalo [0,  1]. Es decir, g ( r ) = 1. (En la práctica, sería más apropiado suponer una distribución a priori con una ponderación mucho mayor en la región cercana a 0,5, para reflejar nuestra experiencia con monedas reales).

La probabilidad de obtener h caras en N lanzamientos de una moneda con una probabilidad de cara igual a r viene dada por la distribución binomial :

${\displaystyle \Pr(H=h\mid r,N=h+t)={N \choose h}r^{h}(1-r)^{t}.}$

Sustituyendo esto en la fórmula anterior:

${\displaystyle f(r\mid H=h,T=t)={\frac {{N \choose h}r^{h}(1-r)^{t}}{\int _{0}^{1}{N \choose h}p^{h}(1-p)^{t}\,dp}}={\frac {r^{h}(1-r)^{t}}{\int _{0}^{1}p^{h}(1-p)^{t}\,dp}}.}$

De hecho, se trata de una distribución beta (la distribución a priori conjugada para la distribución binomial), cuyo denominador puede expresarse en términos de la función beta :

${\displaystyle f(r\mid H=h,T=t)={\frac {1}{\mathrm {B} (h+1,t+1)}}r^{h}(1-r)^{t}.}$

Como se ha asumido una distribución previa uniforme, y dado que h y t son números enteros, esto también se puede escribir en términos de factoriales :

${\displaystyle f(r\mid H=h,T=t)={\frac {(h+t+1)!}{h!\,t!}}r^{h}(1-r)^{t}.}$

Ejemplo

Por ejemplo, supongamos que N = 10, h = 7, es decir, se lanza la moneda 10 veces y se obtienen 7 caras:

${\displaystyle f(r\mid H=7,T=3)={\frac {(10+1)!}{7!\,3!}}r^{7}(1-r)^{3}=1320\,r^{7}(1-r)^{3}.}$

El gráfico de la derecha muestra la función de densidad de probabilidad de r, dado que se obtuvieron 7 caras en 10 lanzamientos. (Nota: r es la probabilidad de obtener cara al lanzar la misma moneda una sola vez).

La probabilidad de que una moneda no esté sesgada (definida para este propósito como aquella cuya probabilidad de que caiga cara se encuentra entre el 45% y el 55%)

${\displaystyle \Pr(0.45<r<0.55)=\int _{0.45}^{0.55}f(p\mid H=7,T=3)\,dp\approx 13\%\!}$

La probabilidad es pequeña en comparación con la hipótesis alternativa (una moneda trucada). Sin embargo, no es lo suficientemente pequeña como para llevarnos a creer que la moneda tiene un sesgo significativo. Esta probabilidad es ligeramente superior a nuestra presuposición de la probabilidad de que la moneda fuera justa, correspondiente a la distribución a priori uniforme, que era del 10 %. Utilizando una distribución a priori que refleje nuestro conocimiento previo sobre qué es una moneda y cómo se comporta, la distribución a posteriori no favorecería la hipótesis de sesgo. Sin embargo, el número de ensayos en este ejemplo (10 lanzamientos) es muy pequeño, y con más ensayos la elección de la distribución a priori sería menos relevante.

Con la distribución a priori uniforme, la distribución de probabilidad posterior f ( r  | H = 7, T = 3) alcanza su pico en r = h / ( h + t ) = 0,7; este valor se denomina estimación de máxima probabilidad a posteriori (MAP) de r . También con la distribución a priori uniforme, el valor esperado de r bajo la distribución posterior es            

${\displaystyle \operatorname {E} [r]=\int _{0}^{1}r\cdot f(r\mid H=7,T=3)\,\mathrm {d} r={\frac {h+1}{h+t+2}}={\frac {2}{3}}.}$

Utilizando este método, para decidir el número de veces que se debe lanzar la moneda, se requieren dos parámetros:

1. El nivel de confianza que se denota por intervalo de confianza (Z)
2. El error máximo (aceptable) (E)

• El nivel de confianza se denota por Z y viene dado por el valor Z de una distribución normal estándar . Este valor se puede leer en una tabla de estadísticas de puntuación estándar para la distribución normal. Algunos ejemplos son:

• El error máximo (E) se define por${\displaystyle |pr|<E}$dónde${\displaystyle p\,\!}$es la probabilidad estimada de obtener cara. Nota:${\displaystyle r}$es la misma probabilidad real (de obtener cara) que ${\displaystyle r\,\!}$de la sección anterior de este artículo.
• En estadística, la estimación de una proporción de una muestra (denotada por p ) tiene un error estándar dado por:

${\displaystyle s_{p}={\sqrt {\frac {p\,(1-p)}{n}}}}$

donde n es el número de ensayos (que se denotó con N en la sección anterior).

Este error estándar${\displaystyle s_{p}}$La función de p tiene un máximo en${\displaystyle p=(1-p)=0.5}$Además, en el caso de lanzar una moneda, es probable que p no esté lejos de 0,5, por lo que es razonable tomar p = 0,5 en lo siguiente:

Y por lo tanto, el valor del error máximo (E) viene dado por

Resolver para el número requerido de lanzamientos de moneda, n ,

${\displaystyle n={\frac {Z^{2}}{4\,E^{2}}}\!}$

Existen otros enfoques para determinar si una moneda es justa, basados ​​en la teoría de la decisión , cuya aplicación requeriría la formulación de una función de pérdida o de utilidad que describa las consecuencias de tomar una decisión determinada. Un enfoque que evita requerir una función de pérdida o una probabilidad previa (como en el enfoque bayesiano) es el del "muestreo de aceptación". ^{[ 2 ]}

El análisis matemático anterior para determinar si una moneda es justa también se puede aplicar a otros usos. Por ejemplo:

• Determinar la proporción de artículos defectuosos de un producto sometido a una condición específica (pero bien definida). En ocasiones, la producción de un producto puede ser muy compleja o costosa. Además, si las pruebas de dichos productos implican su destrucción, se debe probar un número mínimo de artículos. Mediante un análisis similar, se puede obtener la función de densidad de probabilidad de la tasa de defectos del producto.
• Encuesta bipartidista. Si se realiza una pequeña encuesta aleatoria con solo dos opciones mutuamente excluyentes, esto es similar a lanzar una moneda varias veces, posiblemente trucada. Por lo tanto, se puede aplicar un análisis similar para determinar el grado de confianza que se debe atribuir a la proporción real de votos emitidos. (Si se permite la abstención , el análisis debe tenerla en cuenta, y la analogía del lanzamiento de moneda no es del todo válida).
• Determinar la proporción de sexos en un grupo grande de una especie animal. Si se toma una muestra aleatoria pequeña (es decir, pequeña en comparación con la población total) al realizar el muestreo aleatorio de la población, el análisis es similar a determinar la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda.

• Prueba binomial
• lanzamiento de moneda
• Intervalo de confianza
• Teoría de la estimación
• estadística inferencial
• Dados trucados
• Margen de error
• Estimación puntual
• Aleatoriedad estadística

• Guttman, Wilks y Hunter: Introducción a la estadística en ingeniería , John Wiley & Sons, Inc. (1971) ISBN 0-471-33770-6
• Devinder Sivia: Análisis de datos, un tutorial bayesiano , Oxford University Press (1996) ISBN 0-19-851889-7