Cheeger constante

En geometría de Riemann , la constante isoperimétrica de Cheeger de una variedad de Riemann compacta M es un número real positivo h ( M ) definido en términos del área mínima de una hipersuperficie que divide a M en dos partes disjuntas. En 1971, Jeff Cheeger demostró una desigualdad que relacionaba el primer valor propio no trivial del operador de Laplace-Beltrami en M con h ( M ). En 1982, Peter Buser demostró una versión inversa de esta desigualdad, y las dos desigualdades juntas a veces se denominan desigualdad de Cheeger-Buser . Estas desigualdades fueron muy influyentes no solo en la geometría de Riemann y el análisis global , sino también en la teoría de cadenas de Markov y en la teoría de grafos , donde han inspirado la constante de Cheeger análoga de un grafo y la noción de conductancia .

Sea M una variedad riemanniana cerrada de n dimensiones . Sea V ( A ) el volumen de una subvariedad A de n dimensiones y S ( E ) el volumen de n −1 dimensiones de una subvariedad E (comúnmente llamada "área" en este contexto). La constante isoperimétrica de Cheeger de M se define como

${\displaystyle h(M)=\inf _{E}{\frac {S(E)}{\min(V(A),V(B))}},}$

donde el ínfimo se toma sobre todas las subvariedades suaves de dimensión n −1 E de M que lo dividen en dos subvariedades disjuntas A y B . La constante isoperimétrica se puede definir de manera más general para variedades riemannianas no compactas de volumen finito.

Jeff Cheeger demostró ^[1] un límite inferior para el valor propio positivo más pequeño del laplaciano en M en términos de lo que ahora se llama la constante isoperimétrica de Cheeger h ( M ): $Estilo de visualización: lambda _{1}(M)$

${\displaystyle \lambda _{1}(M)\geq {\frac {h^{2}(M)}{4}}.}$

Esta desigualdad es óptima en el siguiente sentido: para cualquier h > 0, número natural k y ε > 0, existe una variedad riemanniana bidimensional M con la constante isoperimétrica h ( M ) = h y tal que el k -ésimo valor propio del laplaciano está dentro de ε desde el límite de Cheeger. ^[2]

Peter Buser demostró ^[3] un límite superior para el valor propio positivo más pequeño del laplaciano en M en términos de la constante isoperimétrica de Cheeger h ( M ). Sea M una variedad riemanniana cerrada n -dimensional cuya curvatura de Ricci está limitada por debajo por −( n −1) a ² , donde a ≥ 0. Entonces $Estilo de visualización: lambda _{1}(M)$

${\displaystyle \lambda_{1}(M)\leq 2a(n-1)h(M)+10h^{2}(M).}$

• Constante de Cheeger (teoría de grafos)
• Problema isoperimétrico
• Brecha espectral