Forma Chern-Simons

En matemáticas , las formas de Chern-Simons son ciertas clases características secundarias . ^{[ 1 ]} La teoría recibe su nombre de Shiing-Shen Chern y James Harris Simons , coautores de un artículo de 1974 titulado "Formas características e invariantes geométricos", del cual surgió la teoría. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Dada una variedad y una 1-forma con valores en un álgebra de Lie.${\displaystyle \mathbf {A} }$Sobre ella, podemos definir una familia de p- formas : ^{[ 4 ]}

En una dimensión, la 1-forma de Chern-Simons viene dada por

${\displaystyle \operatorname {Tr} [\mathbf {A} ].}$

En tres dimensiones, la 3-forma de Chern-Simons viene dada por

${\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]=\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].}$

En cinco dimensiones, la 5-forma de Chern-Simons viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\\[6pt]={}&\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{2}}d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{5}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\end{aligned}}}$

donde la curvatura F se define como

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

La forma general de Chern-Simons${\displaystyle \omega _{2k-1}}$se define de tal manera que

${\displaystyle d\omega _{2k-1}=\operatorname {Tr} (F^{k}),}$

donde el producto cuña se utiliza para definir F ^k . El lado derecho de esta ecuación es proporcional al k -ésimo carácter de Chern de la conexión${\displaystyle \mathbf {A} }$.

En general, la p -forma de Chern-Simons se define para cualquier p impar . ^{[ 5 ]}

En 1978, Albert Schwarz formuló la teoría de Chern-Simons , una teoría cuántica de campos topológica temprana , utilizando formas de Chern-Simons. ^{[ 6 ]}

En la teoría de gauge , la integral de la forma de Chern-Simons es un invariante geométrico global y, por lo general, es invariante de gauge módulo la suma de un número entero.

• homomorfismo de Chern-Weil
• Anomalía quiral
• Teoría cuántica de campos topológica
• polinomio de Jones

• Bertlmann, Reinhold A. (2001). «Forma de Chern-Simons, operador de homotopía y anomalía» . Anomalías en la teoría cuántica de campos (  Edición revisada). Clarendon Press . págs. 321-341 . ISBN  0-19-850762-3.