Distribución de Chernoff

En teoría de probabilidad , la distribución de Chernoff , llamada así por Herman Chernoff , es la distribución de probabilidad de la variable aleatoria

${\displaystyle Z={\underset {s\in \mathbf {R}} {\operatorname {argmax}}}\ (W(s)-s^{2}),}$

donde W es un proceso de Wiener "bilateral" (o " movimiento browniano " bilateral ) que satisface W (0) = 0. Si

${\displaystyle V(a,c)={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-c(sa)^{2}),}$

entonces V (0,  c ) tiene densidad

${\displaystyle f_{c}(t)={\frac {1}{2}}g_{c}(t)g_{c}(-t)}$

donde g _c tiene transformada de Fourier dada por

${\displaystyle {\hat {g}}_{c}(s)={\frac {(2/c)^{1/3}}{\operatorname {Ai} (i(2c^{2})^{-1/3}s)}},\ \ \ s\in \mathbf {R} }$

y donde Ai es la función de Airy . Por lo tanto, f _c es simétrica respecto de 0 y la densidad  ƒ _Z  =  ƒ ₁ . Groeneboom (1989) ^[1] muestra que

${\displaystyle f_{Z}(z)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {4^{4/3}|z|}{\operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}|z|^{3}+2^{1/3}{\tilde {a}}_{1}|z|\right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

donde es el cero más grande de la función de Airy Ai y donde . En el mismo artículo, Groeneboom también ofrece un análisis del proceso . La conexión con el problema estadístico de estimar una densidad monótona se analiza en Groeneboom (1985). ^[2] Ahora se sabe que la distribución de Chernoff aparece en una amplia gama de problemas monótonos, incluida la regresión isotónica . ^[3]${\displaystyle {\tilde {a}}_{1}\approx -2.3381}$${\displaystyle \operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})\approx 0.7022}$ ${\displaystyle \{V(a,1):a\in \mathbf {R} \}}$

La distribución de Chernoff no debe confundirse con la distribución geométrica de Chernoff ^[4] (llamada punto de Chernoff en geometría de la información) inducida por la información de Chernoff.

Groeneboom, Lalley y Temme ^[5] afirman que la primera investigación de esta distribución fue probablemente realizada por Chernoff en 1964 ^[6] , quien estudió el comportamiento de un determinado estimador de un modo . En su artículo, Chernoff caracterizó la distribución a través de una representación analítica mediante la ecuación de calor con condiciones de contorno adecuadas . Sin embargo, los intentos iniciales de aproximar la distribución de Chernoff mediante la resolución de la ecuación de calor no lograron una precisión satisfactoria debido a la naturaleza de las condiciones de contorno. ^[5] El cálculo de la distribución se aborda, por ejemplo, en Groeneboom y Wellner (2001). ^[7]

La conexión de la distribución de Chernoff con las funciones de Airy también fue encontrada independientemente por Daniels y Skyrme ^[8] y Temme, ^[9] como se cita en Groeneboom, Lalley y Temme. Estos dos artículos, junto con Groeneboom (1989), fueron escritos en 1984. ^[5]