Conjunto construible (topología)

En topología , los conjuntos constructibles son una clase de subconjuntos de un espacio topológico que poseen una estructura relativamente "simple". Se utilizan particularmente en geometría algebraica y campos afines. Un resultado clave conocido como el teorema de Chevalley en geometría algebraica demuestra que la imagen de un conjunto constructible es constructible para una clase importante de aplicaciones (más específicamente, morfismos ) de variedades algebraicas (o, más generalmente, esquemas ). Además, un gran número de propiedades geométricas "locales" de esquemas, morfismos y haces son (localmente) constructibles. Los conjuntos constructibles también aparecen en la definición de varios tipos de haces constructibles en geometría algebraica y cohomología de intersección .

Una definición sencilla, adecuada en muchas situaciones, es que un conjunto construible es una unión finita de conjuntos localmente cerrados . (Un conjunto es localmente cerrado si es la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado ). Sin embargo, se necesita una modificación y otra definición ligeramente más débil para obtener definiciones que se comporten mejor con espacios "grandes":

Definiciones: Un subconjunto${\displaystyle Z}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$se llama retrocompacto si${\displaystyle Z\cap U}$es compacto para cada subconjunto abierto compacto${\displaystyle U\subset X}$. Un subconjunto de${\displaystyle X}$es construible si es una unión finita de subconjuntos de la forma${\displaystyle U\cap (X-V)}$donde ambos${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$son subconjuntos abiertos y retrocompactos de${\displaystyle X}$. Un subconjunto${\displaystyle Z\subset X}$es localmente construible si hay una cubierta${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$de${\displaystyle X}$que consiste en subconjuntos abiertos con la propiedad de que cada${\displaystyle Z\cap U_{i}}$es un subconjunto construible de${\displaystyle U_{i}}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

De forma equivalente, los subconjuntos construibles de un espacio topológico${\displaystyle X}$son la colección más pequeña${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$de subconjuntos de${\displaystyle X}$que (i) contiene todos los subconjuntos abiertos retrocompactos y (ii) contiene todos los complementos y uniones finitas (y, por lo tanto, también intersecciones finitas) de conjuntos que contiene. En otras palabras, los conjuntos construibles son precisamente el álgebra booleana generada por los subconjuntos abiertos retrocompactos.

En un espacio topológico localmente noetheriano , todos los subconjuntos son retrocompactos, ^{[ 3 ]} y por lo tanto, para tales espacios, la definición simplificada dada anteriormente es equivalente a la más elaborada. La mayoría de los esquemas que se encuentran comúnmente en geometría algebraica (incluidas todas las variedades algebraicas ) son localmente noetherianos, pero hay construcciones importantes que conducen a esquemas más generales.

En cualquier espacio topológico (no necesariamente noetheriano ), todo conjunto construible contiene un subconjunto abierto denso de su clausura. ^{[ 4 ]}

Terminología: La definición que se presenta aquí es la utilizada en la primera edición de EGA y en el Stacks Project . En la segunda edición de EGA, los conjuntos construibles (según la definición anterior) se denominan "construibles globalmente", mientras que el término "construible" se reserva para lo que se denomina construible localmente. ^{[ 5 ]}

Una razón fundamental de la importancia de los conjuntos construibles en la geometría algebraica es que la imagen de un conjunto (localmente) construible también es (localmente) construible para una gran clase de aplicaciones (o "morfismos"). El resultado clave es:

Teorema de Chevalley. Si${\displaystyle f:X\to Y}$es un morfismo de esquemas presentado de forma finita y${\displaystyle Z\subset X}$es un subconjunto localmente construible, entonces${\displaystyle f(Z)}$también es localmente construible en${\displaystyle Y}$. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

En particular, la imagen de una variedad algebraica no tiene por qué ser una variedad, pero (bajo las suposiciones) siempre es un conjunto construible. Por ejemplo, el mapa${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\rightarrow \mathbf {A} ^{2}}$que envía${\displaystyle (x,y)}$a${\displaystyle (x,xy)}$tiene imagen el conjunto${\displaystyle \{x\neq 0\}\cup \{x=y=0\}}$, que no es una variedad, pero es construible.

El teorema de Chevalley, en la generalidad antes mencionada, fallaría si se utilizara la definición simplificada de conjuntos construibles (sin restringirla a conjuntos abiertos retrocompactos en la definición). ^{[ 9 ]}

Un gran número de propiedades "locales" de morfismos de esquemas y haces cuasicoherentes sobre esquemas se cumplen sobre un subconjunto localmente construible. EGA IV § 9 ^{[ 10 ]} abarca un gran número de dichas propiedades. A continuación se presentan algunos ejemplos (donde todas las referencias apuntan a EGA IV):

• Si${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$es un morfismo de esquemas presentado de forma finita y${\displaystyle {\mathcal {F}}'\rightarrow {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}''}$es una secuencia de cuasi-coherentes presentados de forma finita${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos, entonces el conjunto de${\displaystyle s\in S}$para qué${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}''_{s}}$es exacto es localmente construible. (Proposición (9.4.4))
• Si${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$es un morfismo de esquemas presentado de forma finita y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un cuasi-coherente presentado de forma finita${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo, entonces el conjunto de${\displaystyle s\in S}$para qué${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$es localmente libre es localmente construible. (Proposición (9.4.7))
• Si${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$es un morfismo de esquemas presentado de forma finita y${\displaystyle Z\subset X}$es un subconjunto localmente construible, entonces el conjunto de${\displaystyle s\in S}$para qué${\displaystyle f^{-1}(s)\cap Z}$está cerrado (o abierto) en${\displaystyle f^{-1}(s)}$es localmente construible. (Corolario (9.5.4))
• Dejar${\displaystyle S}$ser un plan y${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$un morfismo de${\displaystyle S}$-esquemas. Considere el conjunto${\displaystyle P\subset S}$de${\displaystyle s\in S}$para el cual el morfismo inducido${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\rightarrow Y_{s}}$de fibras sobre${\displaystyle s}$tiene alguna propiedad${\displaystyle \mathbf {P} }$. Entonces${\displaystyle P}$es localmente construible si${\displaystyle \mathbf {P} }$es cualquiera de las siguientes propiedades : sobreyectiva, propia , finita , de inmersión, de inmersión cerrada, de inmersión abierta, de isomorfismo. (Proposición (9.6.1))
• Dejar${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$Sea un morfismo finitamente presentado de esquemas y consideremos el conjunto${\displaystyle P\subset S}$de${\displaystyle s\in S}$para la cual la fibra${\displaystyle f^{-1}(s)}$tiene una propiedad${\displaystyle \mathbf {P} }$. Entonces${\displaystyle P}$es localmente construible si${\displaystyle \mathbf {P} }$es cualquiera de las siguientes propiedades : geométricamente irreducible, geométricamente conexo, geométricamente reducido. (Teorema (9.7.7))
• Dejar${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$Sea un morfismo localmente finitamente presentado de esquemas y consideremos el conjunto${\displaystyle P\subset X}$de${\displaystyle x\in X}$para la cual la fibra${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$tiene una propiedad${\displaystyle \mathbf {P} }$. Entonces${\displaystyle P}$es localmente construible si${\displaystyle \mathbf {P} }$es cualquiera de las siguientes propiedades : geométricamente regular, geométricamente normal, geométricamente reducida. (Proposición (9.9.4))

Una función importante de estos resultados de constructibilidad es que, en la mayoría de los casos, suponiendo que los morfismos en cuestión también son planos , se deduce que las propiedades en cuestión se cumplen en un subconjunto abierto . Un número considerable de estos resultados se incluye en EGA IV § 12. ^{[ 11 ]}

• Topología construible
• Haz construible

• Allouche, Jean Paul. Nota sobre los conjuntos construibles de un espacio topológico .
• Andradas, Carlos; Bröcker, Ludwig; Ruiz, Jesús  M. (1996). Conjuntos construibles en geometría real . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) --- Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3). vol.  33. Berlín: Springer-Verlag . págs.x  +270. ISBN 3-540-60451-0. MR 1393194 . 
• Borel, Armand . Grupos algebraicos lineales.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi : 10.1007/bf02684274 . SEÑOR 0217085 . 
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi : 10.1007/bf02684747 . SEÑOR 0173675 . 
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 . doi : 10.1007/bf02684343 . SEÑOR 0217086 . 
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (en francés). vol.  166 (2ª  ed.). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
• Mostowski, A. (1969). Conjuntos constructibles con aplicaciones . Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas. Ámsterdam --- Varsovia: North-Holland Publishing Co. ---- PWN-Polish Scientific Publishers . pp.  ix+269. MR 0255390 . 

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/04ZC Definición topológica de constructibilidad (local)
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/054H Propiedades de constructibilidad de morfismos de esquemas (incluido el teorema de Chevalley)