Hispanopedia WikiEn álgebra abstracta , una serie principal es una serie normal maximal para un grupo .
Es similar a una serie de composición , aunque ambos conceptos son distintos en general: una serie principal es una serie normal máxima , mientras que una serie de composición es una serie subnormal máxima .
Se puede pensar en la serie principal como una forma de descomponer el grupo en partes menos complejas, que pueden usarse para caracterizar diversas cualidades del grupo.
Definición
Una serie principal es una serie normal máxima para un grupo. De forma equivalente, una serie principal es una serie de composición del grupo G bajo la acción de automorfismos internos .
En detalle, si G es un grupo , entonces una serie principal de G es una colección finita de subgrupos normales N i ⊆ G ,
De tal manera que cada grupo cociente N i +1 / N i , para i = 1, 2,..., n − 1, es un subgrupo normal mínimo de G / N i . Equivalentemente, no existe ningún subgrupo A normal en G tal que N i < A < N i +1 para ningún i . En otras palabras, una serie principal puede considerarse "completa" en el sentido de que no se le puede añadir ningún subgrupo normal de G.
Los grupos de factores N i +1 / N i en una serie principal se denominan factores principales de la serie. A diferencia de los factores de composición , los factores principales no son necesariamente simples . Es decir, puede existir un subgrupo A normal en N i +1 tal que N i < A < N i +1 , pero A no es normal en G. Sin embargo, los factores principales son siempre característicamente simples , es decir, no tienen subgrupos característicos no triviales propios . En particular, un factor principal finito es un producto directo de grupos simples isomorfos.
Propiedades
Existencia
Los grupos finitos siempre tienen una serie principal, aunque los grupos infinitos no necesariamente la tienen. Por ejemplo, el grupo de los enteros Z con la suma como operación no tiene una serie principal. Para comprobarlo, observemos que Z es cíclico y abeliano , por lo que todos sus subgrupos son normales y cíclicos también. Suponer que existe una serie principal N<sub> i</sub> conduce a una contradicción inmediata: N <sub>1 </sub> es cíclico y, por lo tanto, está generado por algún entero a ; sin embargo, el subgrupo generado por 2a es un subgrupo normal no trivial contenido propiamente en N <sub>1</sub> , lo que contradice la definición de serie principal.
Unicidad
Cuando existe una serie principal para un grupo, generalmente no es única. Sin embargo, una forma del teorema de Jordan-Hölder establece que los factores principales de un grupo son únicos salvo isomorfismo, independientemente de la serie principal particular a partir de la cual se construyen [ 1 ]. En particular, el número de factores principales es un invariante del grupo G , así como las clases de isomorfismo de los factores principales y sus multiplicidades.
Otras propiedades
En los grupos abelianos, las series principales y las series de composición son idénticas, ya que todos los subgrupos son normales.
Dado cualquier subgrupo normal N ⊆ G , siempre se puede encontrar una serie principal en la que N es uno de los elementos (suponiendo que G ya tiene una serie principal). Además, si G tiene una serie principal y N es normal en G , entonces tanto N como G / N tienen series principales. Lo contrario también es cierto: si N es normal en G y tanto N como G / N tienen series principales, G también tiene una serie principal.
Referencias
- ↑ Lafuente, J. (noviembre de 1978). "Homomorfos y formaciones de una clase derivada dada". Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 84 (3). Cambridge University Press: 437– 442. doi : 10.1017/S0305004100055262 .
- Isaacs, I. Martin (1994). Álgebra: Un curso de posgrado . Brooks/Cole. ISBN 0-534-19002-2.
- Serie de subgrupos